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2020-06-012020阿貝爾獎─機率理論與動態系統
606 期
Author 作者
沈俊嚴／臺大數學系副教授，研究專長：調和分析、加性組合。
今年3月，挪威科學與文學院宣布本年度阿貝爾獎由以色列耶路撒冷希伯來大學榮譽教授弗斯滕伯格及美國耶魯大學榮譽教授馬爾古利斯獲得，表彰兩位教授在機率理論及動態系統應用於群論、組合學及數論做出重大的貢獻。
這也貨真價實的反應出科學界重要的獎項不只是表揚在某一個研究領域的成果，而是橫跨許多不同研究領域之間的偉大發現。機率理論與動態系統一直以來都是數學研究領域的重要分枝，其中跟微分方程、古典力學及生物數學的連結廣泛為人所知。然而，今年兩位阿貝爾獎得主的貢獻則是將機率理論及動態系統的連結再度衍伸，以巧妙讓人驚嘆的方式觸及到群論、組合和數論。
動態系統中的等差數列應用—弗斯滕伯格
1935年，出生於德國柏林的弗斯滕伯格來自於猶太家庭，成長過程中遭遇了二戰的不幸。在逃亡到美國的途中父親不幸去世，他跟著母親與姊姊生活在紐約的一個小社區，而弗斯滕伯格也在那裡展現他的數學天份。1955年，弗斯滕伯格畢業獲得學士與碩士學位，年僅20歲的他在畢業前也已經發表了數篇數學專業論文，其中一篇則是重新證明了質數有無窮多個。
弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg, 1935~）
國籍：美籍以色列
任職：耶路撒冷希伯來大學榮譽教授
研究領域：遍歷理論、概率論
隨後，弗斯滕伯格前往數學研究的聖殿普林斯頓大學（Princeton University）攻讀博士學位。他的博士論文展現了無比的原創能力，也因此開啟他在數學研究上的領先地位。博士畢業之後，弗斯滕伯格在明尼蘇達大學工作教書，直到1965年他離開美國來到以色列耶路撒冷希伯來大學工作教書，直到2003年退休。
弗斯滕伯格最為人所知的重要結果之一是應用動態系統將2012年阿貝爾獎得主塞邁雷迪（Endre Szemeredi）著名的等差數列問題給了非常巧妙的證明。等差數列的問題一直是數論及組合領域非常重要的研究問題，著名的塞邁雷迪定理敘述任何一個在整數裡有正密度的集合包含了任意長度的等差數列。
舉例來說，如果集合A={1,3,4,7}，那麼這集合A在{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}集合裡的密度是4 ∕ 10（A的個數除上整個集合的個數）。因此，這集合A的密度大於零，除此之外，集合裡有長度為三的等差數列，即相鄰兩數字有相同差，此等差數列為1, 4, 7。然而，現在知道這集合A有等差數列是因為已知A 裡有哪些數字。著名的塞邁雷迪定理為只需要知道A有正的密度，那麼A就存在任意長度的等差數列，換句話說任何一個正整數k，A集合必定包含下列的一串數字a, a+r,……, a+(k-1)r，數學上稱長度為k的等差數列。……【更多內容請閱讀科學月刊第606期】