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2016-03-01希爾伯特大師的第一道數學難題─連續統假設
555 期
Author 作者
李武炎／曾任教淡江大學數學系，現為《科學月刊》編輯委員。
希爾伯特（David Hilbert，1862~1942）被公認是19世紀與20世紀初最具影響力的數學家，1900年在巴黎舉行的國際數學家大會中，他提出23個一系列的數學問題。這些問題都是當年尚未解決的難題，但這些問題同時也為20世紀的數學發展勾勒出研究方向，大多數的問題都已經在20世紀獲得了解決，我們希望介紹其中幾個比較不是太專門的問題給「科月」的讀者。
本文所要介紹的是這23個問題的第一個，那就是「連續統假設」（continuum hypothesis），這是一個關於無限集合的大小問題。試問：「是否存在一個大小介於自然數與實數之間的集合？如果不存在，那依照大小排序的自然數與實數兩集合就是接連緊臨的。」這個假設就是「連續統假設」。
集合論的誕生
「連續統假設」最早是由康托爾（Georg Cantor，1845~1918）提出，康托爾是「集合論」的創始者，這是數學演進的一個非常重要的里程碑，「集合論」被視為整合數學學門眾多領域的基礎，特別是在拓樸、分析與代數方面，提供了非常優美的架構，也是非常有價值的研究工具。集合論中有一個非常重要的概念叫基數（cardinalnumber），如果兩個集合A與B之間可以建立一個一一對應的函數關係，則稱A與B具有相同的基數，因此{a, b, c} 與{ 張三，李四，王五} 兩個集合便具有相同的基數，而此基數定為3。
所以對有限集合而言，基數其實就是這個集合元素的個數，對於無限集合而言，凡是與自然數集合{1, 2, 3, ⋯}......【更多內容請閱讀科學月刊第555期】