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2020-05-01從一到無限大：科學中的事實與臆測
605 期
Author 作者
喬治．加莫夫（George Gamow）
大數─你能數到多少？
有這麼一個故事，說的是兩個匈牙利貴族決定玩一個數數遊戲—誰說出的數字最大誰贏。
「好，」一個貴族說：「你先說吧！」
另一個絞盡腦汁想了好幾分鐘，最後說出了他所想到的最大數字：「3」。 現在輪到第一個傷腦筋了。苦思冥想了一刻鐘以後，他表示棄權說：「你贏了！」
這兩個貴族的智力當然是不太發達的。再說，這很可能只是一個挖苦人的故事而已。然而，如果上述對話是發生在原始部族中，這個故事大概就完全可信了。有不少非洲探險家證實，在某些原始部族裏，不存在比3大的數詞。如果問他們當中的一個人有幾個兒子，或殺死過多少敵人， 那麼，要是這個數字大於3，他就會回答說：「很多個。」因此，就計數這項技術來說，這些部族的勇士們可要敗在我們幼稚園裏的娃娃們的手下了，因為這些娃娃們竟有一直數到10的本事呢！
現在，我們都習慣地認為，我們想把某個數字寫成多大，就能寫得多大—戰爭經費以美分為單位來表示啦，天體間的距離用英寸來表示啦，等等—只要在某個數字的後面接上一串0就是了。
你可以一直這樣寫下去，直到手腕發酸為止。這樣，儘管目前已知的宇宙〔註一〕中所有原子的數目已經很大，等於300,000,000,000,000,000, 000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,00 0,000,000,000，但是，你還可以寫出比這更大的數目來。
上面這個數可以改寫得短一些，即寫成3×1074
在這裏，10的右上角的小數字74表示應該寫出多少個0。換句話說，這個數字意味著3要用10乘上74次。
但是在古代，人們並不知道這種簡單的「算術表示法」。這種方法是距今不到兩千年的某個佚名的印度數學家發明的。在這個偉大發明—這確實是一項偉大的發明，儘管我們一般意識不到這一點—出現之前，人們對每個數位上的數字，是用專門的符號反覆書寫一定次數來表示的。例如，8732這個數在古埃及人寫來是這樣的：
而在凱撒（Julius Caesar）的辦公室裏，他的辦事員會把這個數字寫成MMMMMMMMDCCXXXII
這後一種標記法你一定比較熟悉，因為這種羅馬數字直到現在都還用得上—表示書籍的卷數或章數啦，各種表格的欄次啦，等等。不過，古代的計數很難得超過幾千，因此，也就沒有發明比一千更高的數位表示符號。一個古羅馬人，無論他在數學上是如何訓練有素，如果要他寫出「一百萬」，他也一定會不知所措。他所能用的最好的辦法，只不過是接連不斷地寫上一千個M，這可要花費幾個鐘頭的辛苦勞動啊（圖一）。
圖一：凱撒時代的一個古羅馬人試圖用羅馬數字來寫「一百萬」，牆上掛的那塊板恐怕連「十萬」也寫不下。
在古代人的心目中，那些很大的數目字，如天上星星的顆數、大海裏魚的條數、沙灘上沙子的粒數等，都是「不計其數」，就像「5」這個數字對原始部族來說也是「不計其數」，只能說成「很多」一樣。
阿基米德（Archimedes），西元前3世紀大名鼎鼎的大科學家，曾經啟動他那傑出的大腦，想出了書寫巨大數字的方法。在他的論文《計沙法》（The Psammites）中這樣寫著：
有人認為，無論是在敘拉古（Syracuse，〔註二〕），還是在整個西西里島，或者在世界上所有有人煙和無人跡之處，沙子的數目是無限大的。也有人認為，這個數目不是無限大，然而想要表達出比地球上沙粒數目還要大的數是做不到的。很明顯，持有這種觀點的人會更加肯定地說，如果把地球想像成一個大沙堆，並在所有的海洋和洞穴裏裝滿沙子，一直裝到與最高的山峰相平，那麼，這樣堆起來的沙子的總數是無法表示出來的。但是，我要告訴大家，用我的方法，不但能表示出占地球那麼大地方的沙子的數目，甚至還能表示出占據整個宇宙空間的沙子的總數。
阿基米德在這篇知名論文中所提出的方法，與現代科學中表達大數目的方法很相似。他從當時古希臘算術中最大的數「萬」開始，然後引入一個新數「萬萬」（億）作為第二階單位，然後是「億億」（第三階單位）、「億億億」（第四階單位），等等。
寫個大數字，看來似乎不足掛齒，沒有必要專門用幾頁的篇幅來談論。但在阿基米德那個時代，能夠找到寫出大數字的方法，確實是一項偉大的發現，使數學向前邁進了一大步。
〔註一〕這是指目前用最大的望遠鏡所能探測到的那部分宇宙。
〔註二〕敘拉古是古代的城邦國家，位於義大利西西里島東南部。—譯者
書名：《從一到無限大：科學中的事實與猜測》
作者：喬治．加莫夫（George Gamow）
出版社：經濟新潮社出版
出版日期：2020年4月★