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2020-05-01數大便是美─從數列與圖形談遞迴
605 期
Author 作者
劉柏宏／勤益科技大學基礎通識教育中心教授。
某日夜晚，法國羅浮宮館長索尼耶赫（Jacques Saunière）被發現陳屍於館內，兩手上舉、兩腳張開，整個屍體呈大字狀。旁邊的地上留有一串索尼耶赫斷氣之前用自己的血液書寫的數字和文字:
13-3-2-21-1-1-8-5
O, Draconian Devil !
Oh, lame Saint !
第一句話是「哦，嚴峻的魔鬼！」，第二句話是﹔「喔，跛足的聖人！」。警方找來符號學專家哈佛大學教授蘭登（Robert Langdon），試圖破解這串數字和文字的涵意……。
以上是電影《達文西密碼》（The Da Vinci Code）一開始的情節，眼尖的讀者一定發現那一串數字就是知名的費波納西數列，只是順序被錯置。而蘭登也由數列順序被錯置聯想到字母也可能被錯置，經過一番重新排列組合，他破譯出這兩句話是：
Leonardo da Vinci ! （李奧納多達文西！）The Mona Lisa ! （蒙娜麗莎！）
費波納西數列的源起
費波納西數列應該是數學中最廣為人知的數列。一般的說法是它來自於李奧納多‧費波納西（Leonardo Fibonacci，〔註一〕）於1202年所出版的《算術書》（Liber Abaci）中一道兔子繁衍的問題（圖一）：
假設每對兔子出生滿兩個月後即可生出第一對兔子，且此後每個月都可以生出一對兔子。
若一開始時只有一對新生兔子，則往後每個月的兔子對數分別是多少？
依據這規律所得到的兔子對數分別是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…。事實上這種數列規則最早出現在關於古印度梵文詩歌的研究上，古印度人對於在某特定長度節拍的詩歌中，不同音節究竟可以有幾種不同組合模式特別有興趣。古印度詩歌一般都歸結為2種基本節拍：1拍的短節拍（Laghu）和2拍的長節拍（Guru）。由於每位詩人都根據每行固定的總節拍數來創作詩歌，創作必須滿足每行總節拍的限制。
因此，詩人需要事先了解如何在每首詩歌中安排短節拍和長節拍及每首詩歌有多少種的組合。當然每行詩歌為0拍和1拍的情形顯然都只有1種，現在就考慮一個簡單但不顯然的情況。
假設每行詩歌只容許2拍，則可以填入2個短節拍（－－）或1個長節拍（——），共有2種組合。接下來，如果每行有3拍，可以先1個短節拍再1個長節拍（－——）、先1個長節拍再1個短節拍（—— －）和3個短節拍（－－－），總共有3種情形。若總節拍數是4拍，則有2長（————）、4短（－－－－）、2短1長（－－——）、1短1長1短（－—— －）、1長2短（—— －－）等5種情形。依此類推，就可以得出1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…。
12世紀的印度人金月（Acharya Hemachandra）是第一位指出這種音節可能的排列組合數列中，每一項是前兩項之和的數學家。費波納西年少時曾隨父親在地中海沿岸經商，因而有「來自比薩的旅人」這外號。他在北非阿爾及利亞的貝賈雅（Bugia）習得「印度－阿拉伯數字系統」，並使用在《算術書》中，因而將此系統引進歐洲。所以兔子繁衍問題是否也是從阿拉伯人學到古印度梵文詩歌中的遞迴規律再加以轉化呢？這點還有待考證。
只有這樣的數字規律與歷史巧合還不足以讓費波納西數列名留千古。多列出幾項費波納西數列，1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,…，然後將後項除以前項的數值四捨五入取到小數點第三位，從89/55這一項開始就一直停留在1.618這個數字上。……【更多內容請閱讀科學月刊第605期】