- 科技報導
文章專區
2018-11-01一個圓周率為5的世界
443 期
Author 作者
王亞薇／現任臺北市立華江高級中學數學科老師。
從斜率看世界
連續幾年，都在高二、高三這2個年級間任教的我，終於在今（2018）年有機會帶小高一的數學。小高一一向是最活潑、最愛回答問題的年級我對他們充滿期待。
藉著不斷拋出問題，讓他們思考然後計算，快樂的數學課來到一個新的單元。這一個單元談的是「直線的斜率」。一開始，我要他們畫出一次函數「y=x，y=2x，y=3x」的圖形，本以為他們會大聲抗議：是不是太瞧不起他們的程度了？結果班上安靜了好一會兒，沒有人作答。於是我再給出提示：「先給出座標，畫在直角坐標系上喔！」
接著，陸續有人拿答案讓我檢查，各種不同的直線（垂直的、水平的、沒有通過原點的……），一個38人的班級，第一次就寫出正確答案的同學不到10個。我真的嚇了一跳，以為是這個班級的特殊狀況，沒想到另外2個任教班裡，答對率也同樣令人大吃一驚……
孩子，你能感受到思考的美好嗎？
在教學現場，對於孩子們在計算時常犯的錯誤，像是作根號的加減時直接加減（如√2+√3=√5），或分數的加減中分母及分子直接加減（如1∕2＋1∕3＝2∕5），我向來不以為意，總會一次又一次提醒他們等式兩邊的矛盾，修正他們錯誤的觀念。因為我能體諒在計算機當道的世界，很少有機會做基本運算的他們，計算能力退化可說十分正常。但是，用圖形來思考代數的解析幾何概念，不是國中階段最重要又十分有趣的觀念嗎？為什麼這一屆的孩子對於這樣的概念，彷彿完全空白？
這讓我想起，十幾年前在國中教一次函數圖形時的上課情景。
我會要求學生在方格紙上，把找出來的點一個個連起來，然後他們會理直氣壯（而且毫無驚喜）地說這是一條直線。「為什麼會是一條直線？」、「為什麼不是三角形或是亂七八糟的曲線時？」、「為什麼直線上其他點也會符合這個一次方程式」，當我丟出一大堆「為什麼」時，他們才開始覺得「是啊，好神奇喔！」，而當他們為了解決一堆「為什麼」，討論出這個圖形居然能由「相似三角形成比例」這個性質推論出時，那臉上大大的驚喜，是我教數學過程中最美麗的回報。
每次在講解完這些內容後，我總會忍不住再發展一些新的內容，如定義二次函數後，請他們畫出一個簡單的二次函數圖形。當圖形展現出來並不是直線時，他們才理解這個世界並不都是由直線所構成的。總有幾個學生會忍不住又問：「那三次函數的圖形呢？」，我真喜歡這樣的問題，因為在不知不覺間，這種「數字的世界可以用圖形表示」的美好思維，已在這群年輕的孩子身上佈下了種子。
但是，幾年沒教高一，驚愕地發現這一代的孩子似乎少了這樣的感動……
每一堂課，都是尋找真相的練習
解釋完函數圖形後，讓他們繼續畫圖與觀察，大家都發現一次函數的一次項係數愈大，直線愈陡。於是我開始告訴他們，我們要來為直線的「陡」和「平」做量化的工作，並開始引入斜率的概念。
首先，我把斜率的「率」這個字圈出來，問他們是什麼意思，孩子們說：「是比例」。接著又問他們：「既然是比例，那就有分子和分母囉！你們曾學過哪些『率』？」，以便他們從舊有的經驗下手，試著發展出斜率的定義。結果，他們很快地說出「圓周率、機率啊！」，我隨即又問：「什麼是圓周率？」，只見他們七嘴八舌地答道：「就是3.14啊！」，也有人說：「是22∕7啦！」。
眼見問不出個所以然，於是又進一步地釐清問題：「對，這些都是我們估計出來的數字，但是圓周率到底是什麼？為什麼要叫圓周率？」我繼續問道，他們答說：「是老師教的啊！」。此時筆者只好用同理的方式解釋：「老師說圓周率是3.14，它就是3.14嗎？那我說圓周率是4、是5，你們也沒有意見嗎？」
台下一片靜默。我等他們思考。
終於有一個小小的聲音冒出來：「好像是跟圓周長有關。」「沒錯，非常好，繼續想喔！」在一片接力思考下，他們終於明白「圓周率是圓周長和直徑的比值」這個觀念，圓周率真的不是「老師說了算」的數字。
多元課程，卻讓彼此在選擇裡受困
下課了，我陷入沉思：圓周率這個概念，不是應該在國小階段就被發展出來嗎？在小朋友們量了不同的奶粉蓋，盤子，汽水罐，硬幣，各種不同的圓形東西後，驚訝的發現，每一個圓周長幾乎都是直徑的3倍，然後就會明白原來圓周長和直徑之間有一個倍數關係，自此「3.14」這個數字才會烙印在他們腦海中。
這幾年，一波又一波的教改，國小、國中乃至高中，各種多元課程琳瑯滿目，令人目不暇給。高一數學課上課的節數愈來愈少，而課程內容的份量依舊。「課綱的修訂」減少了好多基本學科的上課時間，許多以前的基本學科漸漸地都被視為「無趣、無用、浪費時間」。為了落實「有趣又有用」的數學課，於是我們讓學生摺紙、看電影、玩桌遊……想要從「做」中學數學。
我不太清楚，有沒有人問過這些學生，他們真的想要這些課程嗎？
老師，所以圓周率是多少？
對我而言，「教數學」是在教一種「思考方式」，是讓學生在學習數學的過程中，因為「思考」找到規律而發現公式，從而稍稍理解這世界的運行方式。然而這樣的數學教育本質，是非常需要時間的。
「數學思考」是需要「等待」的。
我總是一直等，等他們思考，等他們給我錯誤答案，再修正，再給他們問題，再讓他們思考。一直等、一直等，等到下課時他們跟我說：「老師，數學課好好玩喔！」。
但是，我發現我愈來愈做不到了，等待學生思考成為一件非常奢侈的活動。我必須在一週少少的4節數學課中，教完所有的內容，補足他們之前欠缺的基本觀念，我又非常在意他們的筆試成績。於是，我像台戰車，上課鐘聲一響，就衝到在講台上，不敢浪費絲毫時間；下課鐘響，仍滿臉歉意地說「對不起，讓我把這個說完」，我總是不停在趕課。今年回鍋教高一的我相當焦慮，就連在夢中，都會因為課上不完而嚇醒。
大家都說，教了20幾年數學的你怎麼還不能掌握進度？來得及釐清觀念就釐清，來不及就直接教公式嗎？斜率？直接丟下定義，不就好了？不需要這樣鉅細靡遺的教，不需要教這麼多內容，教重點、教公式就好了啊，為什麼要教這麼多「為什麼」呢？怪不得你要做惡夢！
直接背公式，真的好簡單啊！
可是，我怕有一天，我不小心的直接告訴他們圓周率就是5，他們就毫無異議的接受、使用了。
然後，「圓周率是5的世界」就在不斷地教改中，來到我們的世界。