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2016-10-01談談薛丁格方程式之由來
562 期
Author 作者
張峻輔／清華大學高能物理博士、高雄中學物理科教師。
愛因斯坦在給薛丁格的信中，高度讚賞薛丁格方程式的誕生源自於一位真正的天才，究竟薛丁格是如何猜想出電子的波動方程式？
物理學從觀察出發，先歸納建立出一套自然界運轉法則，物理學家稱之為原理或定律，再據此演繹出新的想法或概念，預測尚未發現之新事物。以古典物理學的兩大支柱，力學與電磁學為例，前者是植基於伽利略與克卜勒對落體運動與星體運行的觀測，再由牛頓總結出三大運動定律與萬有引力定律，統一解釋天上與地上的力學現象，甚至預測海王星的存在；後者乃是建立在安培、法拉第等人對電磁現象的研究之上，一步步積累出電磁理論的宏觀大局──馬克士威方程組，並預言電磁波的存在。
遵循理論發展之軌跡以建立思考脈絡，可說是學習物理的過程，使我們對於牛頓力學與馬克士威電磁學是如此自然的接受，但對於量子力學當中最核心、應用最廣泛的方程式，描述電子運動的薛丁格方程式之由來，教科書卻甚少著墨。部分量子物理教科書會說明：若以德布羅意物質波假說為基礎，加上對波動方程式的種種條件限制，吾人可以「合理」的方式「推導」出電子的波動方程式。
但物理是門實驗科學，所有定律皆是觀測歸納之結果，正如牛頓定律本身是無法被推導出來的，既然無法被推導而出，書上的推導是怎麼一回事？而部分量子力學教科書會直接告訴讀者： 該方程式是量子力學的基本公設，是微觀世界的運行法則，正確性已由實驗確立，但對其由來解說卻付之闕如？究竟薛丁格是以怎樣的方式「猜想」出電子波動方程式的樣貌？誠如書上所言是考量德布羅意的物質波假說嗎？
德布羅意物質波
薛丁格（Erwin Schrödinger, 1887~1961）於1906年進入奧地利維也納大學就讀，深受當時於維也納大學任教的統計力學大師波茲曼（Ludwig Boltzmann）影響，認為自然法則無一例外具有某種統計特性，但兩人卻沒有師徒情緣，因波茲曼長久以來支持原子論而與反對陣營的科學家爭辯，晚年精神狀況不穩，就在這一年選擇以自殺結束生命，鐫刻在墓碑上的正是他在統計力學上最有名的公式：
S = k log W
將熱力學中的宏觀熵值S公式表述成系統微觀狀態數目W的度量， 比如：在房間角落打開香水瓶，一開始香氛粒子侷限於瓶中，W較小，接著香氛粒子會自然碰撞至香氣布滿房間，此時W 變大，香氛粒子待在瓶中是一種有序狀態（S 較小），擴散至充滿房間是一種無序狀態（S 變大），因自然過程傾向趨於無序狀態，故熵值亦將趨於最大。log為自然對數，而式中的比例常數便是鼎鼎有名的波茲曼常數：
k = 1.38×10-23J/K
1921年，薛丁格進入瑞士蘇黎世大學任教，初期工作著重在氣體統計方面的研究，1924年愛因斯坦以印度物理學家玻色（Satyendra Nath Bose）對黑體輻射的研究為基礎，發表了一種針對光子氣體的量子統計學，視每顆光子為全同且彼此無法區分的能量粒子，這完全與波茲曼提出的古典統計學大相逕庭。對古典粒子而言，即使是全同粒子依舊可從其運動軌跡區分出彼此。……【更多內容請閱讀科學月刊第562期】