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2020-02-01新課綱之下排列組合的教與學
602 期
Author 作者
游森棚∕任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。
新課綱排列組合的變革與定位
排列組合可能是高中學生最難以掌握的範圍之一，不少學生學習排列組合的心路歷程是這樣的：樹狀圖太容易，加法原理與乘法原理可以略過。心中真正的排列組合從 P 開始，但重複排列次方讓人不甚舒服，學了C 之後會被當作例外遺忘。C 的榮景持續很長一段時間，然後出現重複組合，整個就全部亂掉了。
此時，按照章節大量的制式化練習反而變成干擾物。結果就是每一題算出來都沒有把握，對答案對了就好，不對就訂正，但下次遇到類似的多半還是錯，因為認知結構或思考模式已經固定，沒有調整。因此當面臨考試，終究還是賭賭看寫下來的計算式是不是能算出正確答案。
新課綱的制訂者有意匡正這個現象，因此新課綱對於排列組合的定位有大幅的變動。基本上可以歸納成以下兩個要點：
1. 當作古典機率的準備（古典機率就是算事件出現的比率，分子分母各是一題排列組合問題）。
2.只談排列、組合和重複排列，刪除重複組合。
這樣的變革是對是錯，結果如何都需要時間驗證。但筆者恰好是組合學（combinatorics）博士，本文想趁機給師生一些關於排列組合學習的建議。
緩慢演進的排列組合教學
如果比較現行與30年前的坊間教材，會發現排列組合竟 然還在以30年前的那一批題目為尊。除了極少數的教材 之外，幾乎沒有進步。
分析原因可能為如此：首先，高中的排列組合是計數（enumeration）。 但是國內各數學系這方面的課程常常 僅包含在範圍更大的離散數學（discrete mathematics） 中，計數僅為一個小章節。但即便離散數學，以前也不 被當作主流數學，這1、20年來，各數學系才慢慢開課。 這一點的確是不夠的，因為離散數學已經是當代數學的主流領域之一。
大學或研究所的接觸會讓學問有高觀點的面貌。一個對照的例子是二階矩陣與線性代數。客觀來說近十幾年來高中線性代數的部分更動相當大，特別是把矩陣看成一個變換的想法。有趣的是，對二階方陣代數或幾何兩個面向的要求，老師多半能抓到，而且對難度和內容拿捏也有分寸，筆者相信一部分原因是每一個高中數學老師都修過線性代數。
其次，高中排列組合或整個「計數」的基本想法，說白了 真的就是只有（1）排列，（ 2）重複排列，（ 3）組合，（ 4） 重複組合，最後加上一個（5）二項式定理，如此而已。
以上多少解釋了幾十年不變的題目是怎麼來的──不少教師在大學或研究所中沒有接觸到高觀點的排列組合，以至於對排列組合的印象一直停留在高中的題目裡。復以主題又只有四種，既然當初就是學這些材料長大的， 所以就這樣一路傳承下來。在此可看到課綱刪去了（4） 重複組合，使得原本完整的介紹少了一塊。這樣的變革是優是劣，還有待時間驗證。
一些教學與學習的建議
高中的排列就是計數（enumeration）， 最高的心法就是 「數數看有幾個」，只要數得出來，管你用什麼方法！任何公式都只是讓人可以數得比較快工具，最多再用一點排容原理與對應原理。所以如果腦中只忙著找套路，則一開始就走偏了。
既然是數數看有幾個，那只有兩個原則：
1.先分類。
2.每一類數一數（通常要接連若干個步驟）。……【更多內容請閱讀科學月刊第602期】