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2016-11-01懸賞百萬美金的質數難題
563 期
Author 作者
李武炎╱曾任教於淡江大學數學系，現為《科學月刊》編輯委員。
數論是一門古老的學問，它曾被高斯形容為數學皇后的皇冠，數論中的敘述都很淺顯易懂，與生活較相近，所以很吸引人，中學生做科展時常拿與數論有關的題材作為研究的題目。數論中最重要的元素就是質數，質數問題也是現今中學數學常見的習作，但是有關質數的分佈卻相當奧妙。本文所要介紹的是與質數有關的猜想，數學家付出很多心力研究，但迄今仍未能徹底了解。
質數的奧秘
1900年，德國數學家希爾伯特（David Hilbert, 1862~1943）在巴黎的第二屆國際數學家大會上，提出了23道重要的數學問題，當中的第8個問題與數論有關，包含了3項猜想：黎曼猜想、哥德巴赫猜想與孿生質數猜想。黎曼猜想是德國數學家黎曼（Bernhard Riemann, 1826~1866）於1859年首先提出，也是美國克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）在西元2000年時，懸賞美金100萬元的7項千禧年大獎難題之一（其他6項分別為：P/NP問題、霍奇猜想、龐加萊猜想、 黎曼猜想、楊–米爾斯存在性與質量間隙、納維–斯托克斯存在性與光滑性、貝赫和斯維訥通–戴爾猜想，當中僅有龐加萊猜想獲得證明）。
黎曼猜想是關於黎曼函數的零點分佈的猜想，質數分佈的奧秘也蘊藏在黎曼函數之中，黎曼猜想的解決對質數分佈的細緻規律有決定性的影響，對近代密碼學及通信科技會有突破性的發展，因為通信安全會利用到密碼加密的技術，而密碼技術的基礎倚賴於特定計算問題的困難度，例如超大數的質因數分解，這與質數分佈規律有關。
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