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2018-12-01廣義相對論— 彎曲的空間 vs 彎曲的時空
588 期
Author 作者
賀培銘／臺灣大學物理系特聘教授，加州大學柏克萊分校物理博士，研究量子場論、弦論和數學物理。曾獲國科會傑出研究獎及臺大傑出教師。
廣義相對論包含2個層面的意義，其一是時空可以彎曲，其二是重力作用可以視為時空彎曲的效果。廣義相對論雖然是狹義相對論的一種推廣，其實上述的2個主要概念可以暫時脫離狹義相對論存在。原則上，在狹義相對論被發現之前，可能就有人已經想 到時空可以彎曲，甚至想到重力可以視為時空彎曲的效果。只是這個人在建立關於時空如何彎曲的理論時，不一定會要求時空有平等的地位。因此，在學習廣義相對論的基本概念時，不一定要從狹義相對論出發；不談狹義相對論，反而可以更專注於廣義相對論中時空彎曲的意義。本文前半先介紹彎曲空間的概念，後半再加入時間的概念。
廣義相對論中的幾何概念，在數學上被稱作為黎曼幾何（Riemannian geometry）。黎曼幾何要談的是：在一個空間中，用某種數學公式定義距離或長度之後，能出現哪些幾何概念。要完整了解這句話，應該要先想像一個空間裡「距離沒有被定義」是什麼意思。但是這裡先不談論 這個問題，先專注於「所有空間裡任意2點間的距離都是 確定的」這類情形。
時空的彎曲
圖一為經常在科普文章中出現用來代表一個星球附近的時空的圖片。藉著說明這張圖的意義，試著進一步了解時空彎曲的意義。
首先，這張圖中的時空部分是二維的。也就是說，四維時空中的另外二維沒有被表現出來。時間的維度就是沒有表現出來的維度之一。由於這個三維空間有「球對稱」，也就是說，以星球的中心為原點，往任何一個方向看出去，結果都是一樣的，因此不需要說明圖中表現出來的兩個維度是空間中的哪兩個維度。在紙上表現不出彎曲的三維空間，是讀者必須體諒圖中省略一維空間的無奈。
但是圖一裡尚存在一個明顯不恰當的地方，那就是曲面上方的星球圖形及看似是在二維曲面上滾動的小球。不管是星球還是星球附近的小球，都是完全存在於宇宙時空中的物體。既然三維空間已經改用二維曲面表示，星球和小球都只能是二維曲面上的一部分，二者應該以二維的圓盤圖案表示才對。
一個常聽到得錯誤類比：時空彎曲使小球偏向星球的原因，類似於沙發上的保齡球讓沙發表面下陷，使得從旁經過小球的路徑偏向保齡球。其實沙發上的小球會偏向保齡球是因為有地心引力，讓小球往低處滾動。但是圖一中顯然不應該在曲面底下有地心引力，任何作用力只能是在曲面延伸的方向上。況且，時空的彎曲就是為了取代重力作用而出現的概念，這代表圖一裡根本不應該有重力。
另一個要避免的誤解是，雖然這張圖中的空間看起來是彎的，但是這個視覺上的彎曲和黎曼幾何中根據距離概念建立的彎曲概念，其實是不一樣的。
那麼，小球的軌跡為何偏向星球呢？根據廣義相對論，答案是時空的彎曲。但是，為何這樣彎曲的二維曲面中的小球的軌跡會偏向星球呢？這個問題有些複雜，所以稍後再解釋。
黎曼幾何
想像一條可以任意彎曲、但沒有延展性的線。線上任意2點間的距離是固定的。不論其如何彎曲，線上任意2 點間的距離都不變。在黎曼幾何中，一個空間的所有幾何性質都只能根據空間內部的距離概念來定義。而這條線上面的任意2點間的距離，不管這條線看起來多麼彎曲， 結果都和這條線是直的時候完全相同。因此，對一維空間來說，黎曼幾何無法區分曲線及直線。視覺上這條線是彎的，那是因為這條線在平的三維空間中取了彎曲的形狀，這個彎曲的感覺是透過這條線和三維空間的關係造成的。
同理，一張沒有延展性的紙上面任意選2 點，不管是平放在桌上或是把這張紙捲成筒狀，紙上2點間的距離都和原來完全一樣。所以看起來是彎曲的圓筒，在黎曼幾何中其實也被視作是平的。......【更多內容請閱讀科學月刊第588期】