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2017-01-01尿液篩檢的數學思考
565 期
Author 作者
陳宏賓／UniMath主編、逢甲大學應用數學系助理教授。最喜愛組合數學領域，主要研究興趣是群試理論。有莫名的使命感，創立UniMath電子數學媒體，致力於推廣數學文化。
根據衛生福利部食藥署歷年來公佈的反毒報告書顯示，近年來經學校相關處室通報的染毒人數日漸增加。反毒報告書特別指出，「落實尿液篩檢為防治毒品氾濫重要手段之一，及早清查發現濫用藥物者，給予適當輔導諮商與戒治，方可達到防制藥物濫用之功效」。把所有施用毒品的學生都揪出來，乍聽之下不失為一個好主意，日漸增加的染毒人數也引起了社會各界對校園毒品防治的關注，甚至有大企業家慷慨解囊贊助某市政府大筆資金，替所有校園內的學生進行全面性藥物尿液篩檢。另一方面，全面尿檢政策的執行引起不少人的擔憂和疑慮，其背後有許多面向的議題值得深入思考，包含「全面尿檢的人權問題」、「藥物半衰期短的成效問題」、「造成師生關係對立的班級經營問題」、「學生被貼標籤的校園霸凌問題」、「擴大尿檢對象的預算問題」、「檢驗準確度問題」等。
寫到這裡，腦中浮現了數學大師諾伊曼（John von Neumann）的名言：「如果人們不相信數學是簡單的， 那只是他們還不明白人生有多麼複雜。」所以，放心！我並不是要告訴你數學可以解決上述的所有問題。我想說的是：「這裡面有沒有數學可以派上用場的地方？答案是有的。」
貝氏機率的考驗
首先登場的是「檢驗準確度問題」，起碼看起來最像一道數學題。要知道所有化學藥物的檢驗過程中，誤檢是幾乎無可避免的，錯誤發生的原因很多，不一一分述，有人為的、也有非人為的（比如儀器本身的限制）。而誤檢產生的結果則大致可分為兩類：（1）偽陽性：受檢者沒有吸毒，結果卻被判定為陽性；（2）偽陰性： 受檢者為吸毒者，卻被判定為陰性。
有統計專家指出，即使尿液檢驗機構宣稱每一次尿檢可以達到非常高的99%準確度，最後呈現的結果仍然很可能會造成極大的災難，其原因正是統計學中著名的「貝氏機率」造成的偽陽性陷阱。「貝氏機率」算的是在特殊條件下，某一事件發生的機率。
災難從何而來？這麼說好了，假設一個3萬名學生的城市中吸毒比例為x=0.1%，則會有30名吸毒者，在此城市實施全面尿檢且檢出率為99%的話，那麼估計會有30×99%名陽性加上29970×1%偽陽性檢出。即是，初 檢陽性總數大約為330名，其中偽陽性高達將近300名。設身處地的想一想，萬一我剛好是尿檢結果呈現陽性的學生，真正涉及吸毒的可能性只有不到10%，陽性檢出樣本中被誤判的比例高達9成，而這樣的誤判可能會讓我的腿被我老爸打斷！在複檢結果還來不及出來之前。
對數字比較敏感的讀者應該已經發現，誤判比例高達9成的關鍵性因素在於「未吸毒者佔整體比例太高」。依照上面的估算，若城市裡學生的吸毒人口比例x改為1%，則誤判的比例大約5成；如果x=10%，誤判比例約為1成。根據衛福部公佈的102年度防毒報告書，各級學校所掌握的特定人員數量大約為15187人，最後確認為吸毒者的有1292人，x還不到9%，即使誤判比例只有1成，當初可能有130人因此人生變成黑白的。萬一全面尿檢的話，恐怕情況會更不樂觀。
解決初檢偽陽性樣本過多的一個方法，是針對初檢陽性樣本再進行一次檢驗，簡單的機率P可以算出（以 99%檢出準確度來算）：
P（一個未吸毒者連續兩次檢驗被判定為陽性的機率）=0.01%
萬分之一看起來是令人可以接受的結果，不過，這樣的方式對於偽陰性卻一點改善都沒有，對毒品尿檢來說，偽陰性頂多就是讓吸毒者暫時逃過一劫罷了，但在其他應用上，偽陰性造成的後果有可能比偽陽性更嚴重。
什麼方式可以同時降低兩類誤檢？
最直接的方法就是所有檢測重複進行3次，這樣子即使發生一次錯誤，也能夠正確判斷，無論是偽陽性或偽陰性都能夠校正回來。透過這個作法，能夠將誤檢率下降到萬分之一。只是如此一來，整個尿檢成本將提高3倍。 很明顯，在檢驗成本和誤檢率之間存在一種抵換關係，正是魚與熊掌不可兼得的概念！（有別於初檢，在現行的〈濫用藥物尿液檢驗作業準則〉中，複檢將使用更精密的檢測方式進行，因此成本較高也較費時）
群試理論
像這樣子全面性大規模檢驗的問題不是第一次發生，二次世界大戰期間，美國就曾遭遇類似問題。為了應付突發的戰爭局面，美國政府急需徵召大量士兵投入戰場，當時的時空背景下，傳染病梅毒是另一個難纏的敵人，若不幸在軍隊中擴散開來，將大大折損戰力，美軍自然不希望發生此事。當時梅毒的檢驗方式是驗血，但若要一個一個士兵進行血液檢測，所需的成本極高，恐怕讓因戰爭而遭遇困境的經濟更雪上加霜。這時，在研究中心工作的朵夫曼（Robert Dorfman）博士提出了現在稱為〈群試理論〉的想法，可以大幅降低檢測的成本。……【更多內容請閱讀科學月刊第565期】