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2020-01-01教科書外的數學─ 整數數列線上大全OEIS
601 期
Author 作者
林家妤 Shark Lin 因為數學成為斜槓青年，進行數學藝術創作、策展、採訪、寫作與創意教學，特別喜愛跨領域的題材與合作。
有些人喜歡蒐集化石，有的人是益智玩具迷，那你知道有人專門蒐集整數數列嗎？
整數數列的收集與紀錄
整數數列，是指一個由整數形成的數列，例如知名的費氏數列（0, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8....），由0和1開始，之後則是由前面的兩數相加得出。而整數數列線上大全，則是專門蒐集整數數列的網站，由數學家斯洛恩在1996年設置建立，因此也簡稱為Sloane’ s。
斯洛恩於1939年出生於英國威爾斯（Wales），小時候移民至澳洲。大學時期以五年時間完成雙修數學與電機工程的學位，1965年就讀美國康乃爾大學（Cornell University）研究生時期開始蒐集整數數列，當時他把蒐集到的數列寫在檔案卡上，即使後來到貝爾實驗室（Nokia Bell Labs）與AT&T工作時仍持續蒐集整數數列。
1996年，整數數列的數量達到一萬條，因此斯洛恩決定用線上的方式完整記錄整數數列，直到去（2019）年6月，OEIS已收集超過32萬個數列，是世界上同樣類型的資料庫中規模最大的。過去一年，網站新增了12000條數列，並且獲得8000次引用。
每天都有數學家把新的數列寄給斯洛恩與其團隊，而每個月將近千萬點擊率，高到一般科普網站都追不到車尾燈。然而，點進OEIS的網站一看，會發現介面樸實無華，卻仍能夠對數學界有如此深遠的影響，歸功於斯洛恩與背後眾多主編與副主編審核各方提交的新數列。
新數列的產生使得OEIS集合許多有趣的數學問題，這些發想通常是從趣味數學的社群而來。事實上，OEIS的特色即是整合專業數學家與業餘數學家，讓全球的數學愛好者能夠一同在此交流。
美國羅格斯大學（Rutgers, The State University of New Jersey）的齊爾伯格（Doron Zeilberger）教授認為斯洛恩是在世的數學家之中最有影響力的一位，雖然他並沒有成功證明費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem）或龐加萊猜想（Conjecture de Poincaré），然而，今日OEIS對於數學研究的影響力遠超過任何一位在世的數學家。
OEIS上的數列
那麼，要如何玩OEIS呢？一開始可以用關鍵字及鍵入部分數列的方式搜尋到完整條目，像是費氏數列可以用Fibonacci（費波那契）搜到條目A000045，如果一開始不知道要從哪邊入坑，OEIS上也有預設的數列可供入門者一鍵搜尋。
每一個條目都列出了該數列的前幾項（約30~40項）、關鍵字、數學動機、文獻連結與相關圖形，甚至可以把數字當作八度音階的音符，再模擬各種不同樂器形成音樂，讓人以全新的方式感受數列。
今（2020）年已經80歲的斯洛恩，除了幾乎每天都會提交1~2則新數列，還經常活躍於YouTube與Podcast，他也曾經分享過幾個充滿趣味的數列，在此就列舉幾個例子讓大家看看有別於教科書的數學奧妙：
數列A133058：Fly straight，damn it！
這個數列的圖形讓斯洛恩想到《阿凡達》（Avatar）男主角傑克第一次駕馭靈鳥（banshee）卻失控的情景，因此斯洛恩稱它為「Fly straight，damn it ！」，現在，就讓我們一步步來看看A133058生成的奇妙圖形。
首先，先定義A133058 的前兩項為1，那第三項（n=2）的數值要如何計算呢？
規則一：
如果n與a（n-1）之間沒有公因數，那麼，下一項則a（n）= a（n-1）+n+1，如圖一。
在這個例子中，n=2 時n與a（1）沒有公因數，因此，a（2）=1+2+1=4。下一項n=3時，發現3與4沒有公因數，因此a（3）=4+3+1=8，如下：
規則二：
如果這兩項最大公因數（gcd）大於1，下一項的數值就是前一項的數值除以a（n-1）與n 的最大公因數，也就是a（n）= a（n-1）∕gcd（n, a（n-1））。接著n=4 時，發現n與a（3）有公因數，因此a（4）=8/4=2，如下：
若用這兩項規則產生後面的數列（圖二），則會得到以下數列，如下：
按照這樣的規則，則會生成圖三的數列與圖形，神奇的是，從第638項以後，圖形會收斂成三條直線，就像是在空中飛行一般。
圖三
接著，再來看看第638項前後到底發生了什麼事，讓原本散佈的圖形收斂成三條直線？首先我們可以觀察到，第638項的值是1，接著依照前面的規則計算出後面像次的數值，如下：
為了以數學解析638項之後的數字，在此以代數2m表示項次，並且計算後續的項與數值以便觀察。按照先前的兩條規則，可以計算出第2m+1到第2m+11的項。仔細觀察這表，可以把每四個數字分成一組，便會發現規律了！
從第638項後的數列只有三種類型的組成：整數1和2（姑且稱為數列A1與A2）；2m+3、2m+7、2m+11等前後差4的數字（數列B）；及4m+6、4m+14、4m+22等前後差8的數字（數列C），如下表。
這樣就可以解釋為什麼圖形最後會收斂成3條線，圖三最下面那條看似只有一個數字的直線其實是數列A1與A2；而中間那條斜率沒那麼大的線，則是數列B構成；同樣的道理，最上方那條斜率最大的線，則包括數列C中4m+6、4m+14、4m+22等數字。
這個奇怪的圖形就像是阿凡達男主角傑克的學習歷程，一開始傑克還沒辦法駕馭靈鳥到處橫衝直撞，過一陣子終於掌握到技巧便可以順利地往前直飛了，而這圖形正是數學展現出來的魔術，屬於大自然的奧秘。
原來人類偏好會影響數字的受歡迎程度：斯洛恩縫隙
OEIS龐大的資料庫本身也成為數學家好奇與研究的對象，例如每一個數字的相對重要性，如果一個數字可以被越多的規則描述，表示這數字可能越有趣，在OEIS裡出現的頻率也就更高。因此，數學家將OEIS資料庫數字n出現的次數N繪製成圖四，從圖中可以看到數字從小到大，出現次數呈現遞減的趨勢。
圖四
從圖中可以發現，中間有著明顯的一條縫，這條縫被稱為斯洛恩縫隙（Sloane’s gap），將不同的數字分為較為受歡迎的上層及較不普遍的下層。上層的數字包括質數、費氏數列、
95的平方數、2的次方數加1或減1（2n+1 或2n-1）、有很多因數的數字及在十進位系統中看起來有趣或順眼的數字，像是1111、2222或3333等。而其他沒有這些特性的數字，大多在下層。
斯洛恩縫隙道出一個驚人事實，原來每個數字並非生而均等，其重要性會強烈受到人類偏好也就是文化的影響。看似全然理性的數字，經過人類的研究之下，竟然會有受歡迎程度之分，這也告訴人們，原來人類文明和數字息息相關。
閱讀別人發展的數列有點無趣嗎？其實，你也可以自創數列投稿，只要英文與程式能力達到一定水準，就有機會讓自己的數列被OEIS蒐藏，和世界分享數學的規律與驚奇。
延伸閱讀
1. OEIS：http://oeis.org/。
2. Alex Bellos, Neil Sloane: the man who loved only integer sequences, The Guardian, 2014/10/7.
3. Gauvrit, Delahaye and Zenil, Sloane's Gap: Do Mathematical and Social Factors Explain the Distribution of Numbers in the OEIS ?, Journal of Humanistic Mathematics, 2011.