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2017-03-01質數的故事
567 期
Author 作者
李武炎／曾任教於淡江大學數學系，現為《科學月刊》編輯委員。
數論（或整數論）是一門古老的學問，數論中有許多問題看似非常淺顯易懂，也非常吸引人，可是證明起來卻非常難，甚至於到現在都還沒有定論。構成數論學門最基本的元素就是質數，很多有趣的數學猜想都伴隨質數或與質數有關，數學家孜孜戮力就是在尋求這些問題的答案。質數是指一個大於1的正整數，它只有1與自己兩個正因數，例如2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47等均是。這些所列的是小於50的質數，其中2為偶數，其他都是奇數，有人稱2是最老的質數，因為還有新的質數不斷地被發現。事實上，2也是唯一的偶質數，這很容易可以看出來，如果n為一個大於2的偶數，則不是質數。一個非常重要的觀察是上面所列的質數數列似乎還可以繼續下去，事實上質數有無限多個，這一個事實遠
在公元前3 世紀時就由歐幾里得（Euclid）加以證明，這個簡潔而漂亮的證明出現在《幾何原本》（Euclid’s Elements）第九冊的第20個命題。
歐幾里得的證明點子可以用下列的說明來顯示：首先2是最老的質數（第一個質數），則a=2+1=3也為質數，將它加入質數的行列得{2,3}；然後再計算a=2×3+1=7也是質數，加入質數的行列得{2,3,7}；再計算a=2×3×7+1=43 又得一個質數，因此得4個質數：{2,3,7,43}；並利用同樣的技巧計算a=2×3×7×43+1=1807，但1807=13×139 非質數，而13為質數，將13加入質數的行列，此時我們得 {2,3,7,43,13}；再一次計算a=2×3×7×43×13+1=23479，此時23479=53×443，53為質數，因此質數名冊上出現 {2,3,7,43,13,53}，但我們不會到此停止，原則上我們會繼續同樣步驟去找出任意個數的質數名冊。
既然已經知道質數有無限多個，我們不禁要問質數的公佈情形，直覺上我們認為合成數（非質數）比質數多很多，但質數佔所有正整數的比例到底是怎樣？如果我們設π(x)是指小於或等於x的質數個數。例如 π(10)=4，因為小於10的質數一共有2、3、5、7四個，同理 π(20)=8。
從表一來看，很明顯地，當x愈來愈大則π(x)/x 愈來愈小，這又引起另一個問題，就是 π(x)/x 這個比值減少的速度有多快，事實上，歷史上已有數學家得到這個結果，這就是有名的質數定理：
，所以當x愈來愈大的話……【更多內容請閱讀科學月刊第567期】