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2019-11-01從《幾何原本》到九種幾何
599 期
Author 作者
游森棚／任教於臺灣師範大學數學系及空軍官校。
這學期筆者開設了「數學資優教育」課程，修課的同學皆為有志於此的未來老師，亦有多位已在各校資優班任教的教師。最近，談到平面幾何，透過師生共同討論，釐清了很多關於幾何數學史的模糊印象，藉此專欄與讀者分享。
歐幾里德與《幾何原本》
平面幾何推論的迷人之處，在於體現了「數學」這門學問最重要的精神：在證明一個命題時，每一步的推導都是有根有據。換句話說，任何數學結果，都是從最一開始的幾個定義與公設按照邏輯推演出來的，也就是所謂公理化的數學。
這是劃時代的偉大思想，也是古希臘人對科學最偉大的貢獻，早先的巴比倫與埃及的幾何知識（計算面積、長度等）更都是從實驗觀察歸納而來。希臘人承襲了這些數學知識，卻摒棄實驗歸納而採用推理演繹，這個劇烈的轉變筆者至今仍覺神祕不已。總之，希臘人歷經三百年發展出公理化幾何學，終在歐幾里德（Euclid）劃時代的著作《幾何原本》（Elements）集大成。
不可思議的是，直到現在人們對歐幾里德的生平所知仍接近空白，甚至有些學者懷疑根本沒這個人。但《幾何原本》是真實存在的書，共有13卷，前六卷討論平面幾何，後幾卷討論數論等其他領域。世人的焦點多放在前六卷，也就是公理化的平面幾何學。
在第一卷的一開頭，歐幾里德首先提出23個定義（點、線、面和圓等），然後提出五個放諸四海皆準（不限幾何）的公理，如其中一個是：「兩相等的量加上相等的量，其和相等」。即「等量加法原理」：若a=b，則a+c=b+c。接著，就是大名鼎鼎的五個幾何公設：
1.（第一公設）從任一點到另一點可畫一條直線。
2.（第二公設）直線可以向兩端無限延伸。
3.（第三公設）任給一圓心及半徑可以作一圓。
4.（第四公設）直角皆相等。
5.（第五公設）兩直線被另一線所截，且某一側之同側
內角和小於兩個直角，則此兩直線無限延伸必在此側相交。......【更多內容請閱讀科學月刊第599期】