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2018-09-01群論、對稱與基本粒子
585 期
Author 作者
賴昭正／前清大化學系教授、系主任、所長； 合創科學月刊。
數學語言對制定物理定律的恰當性的奇蹟是一個我們既不理解也不應得的好禮物。 我們應該感激它，並希望它能在未來的研究中同樣有用，並且無論是好還是壞，都會令我們在更廣大的新知領 域 上 感 到 興 奮 －－ 儘 管 或 許 也 將 使 我 們 困 惑 。
－ 1960 年 維格納（Eugene Wigner）
在數學及抽象代數中，群論（group theory）是一種「群」的代數結構。 「群」在抽象代數中，正如環、體與向量空間一樣有其重要地位，但群論的發展卻有一段坎坷的歷史脈絡。
雖然早在約200年前，就已經被一位默默無名的年輕數學天才發現，但它 在物理及化學上的應用卻遲至20 世紀初，物理學家開始了解物理定律的對稱性後才慢慢受到重視。1920 年 代，德國的魏爾（Hermann Weyl） 與匈牙利美籍的維格納為最早將「群論」介紹到量子力學的物理學家，後 者則在1963年因「在原子核及基本 粒子理論上的貢獻－－ 尤其是透過發現及應用對稱的基本原理」而獲得諾 貝爾物理獎的殊榮。1981 年，日本京都大學（Kyoto University）的福 井謙（Kenichi Fukui）及美國康乃 爾大學（Cornell University）的何 福曼（Roald Hoffmann）則因發展 使用分子能階（molecular orbital） 的對稱性質來闡釋先前很難理解的化學反應，而穫得諾貝爾化學獎。今日，群論已是探討基本粒子物理上不可缺少的工具！
筆者在《科學月刊》483 期〈對稱與 物理〉一文裡談到許多物理定律的對稱性；但因那裡所談到的對稱都是屬於不抽象、容易想像的對稱，所以用 不到群論。而在《科學月刊》539 期 〈規範對稱與基本粒子〉一文裡，筆者介紹抽象的規範對稱後，被「迫」 不得不提U（1）、SU（2）、SU（3） 及 SU（2）×U（1）等群論符號，但 是未加說明其數學意義。本文之寫作動機就是希望能彌補上面的缺陷，也為筆者下一篇文章〈基本粒子的標準模型〉鋪路。
難產的群論簡史
1829 年春天，年僅17 歲的伽羅瓦 （Évariste Galois）為了回答一般多 項式方程式有無「根解〔註一〕」的問題，寄了一篇論文給法國科學院的數學及物理學家柯奇（Augustin-Louis Cauchy）。 在那篇論文裡，他提出多 項式方程式「解」的排列組合「群」之特殊關係正是方程式有無「根解」 的秘密所在，再次的證明一般的5次 方程式無根解。柯奇是出了名的只宣讀自己論文的院士，因此答應在科學 院裡宣讀一位17 歲小孩的論文顯然是看出該論文的份量，但卻突然因病 延期，該論文從此消失。1 年後，伽 羅瓦又因申請法國科學院大獎提出（有一說是因柯奇鼓勵他提出的），但負責審查的數學家卻在數週後辭世，大概也將那篇論文帶進棺材，因此沒有人知道它的下落，伽羅瓦最終沒有得獎。
1830 年 7 月， 法國第2 次革命成 功，柯奇因不滿要宣誓效忠新政府， 而於8 月底開始其瑞典和義大利的7 年逃亡生活。1831 年 1 月，另一負 責審查大獎的數學及物理學家泊松 （Siméon Denis Poisson）再次邀請 伽羅瓦提出其論文。但數個月過去依舊石沉大海，伽羅瓦終於忍不住了，寫一封不客氣的信給院長，要求泊松不管怎麼樣都必須給一個答覆。 他的革命同志學長恰瓦禮（Auguste Cheliver）更於5月登報攻擊法國科 學院對這位數學天才不公平的待遇，認為這是造成伽羅瓦對政府的暴力革 命傾向（伽羅瓦認為7月革命只是換 湯不換藥，並沒有建立真正的共和）。
泊松發現他的名字上報後，終於不得不儘速完成審查，7 月 4 日提出報告表示：
這篇論文既不清楚，也沒有足夠發展出來，因此我們無法判斷其嚴謹性。我們也無法對這項工作提供清晰的概念。⋯⋯理論的不同部分常能相互澄清，比單獨理解它們更容易。我們應該等待作者發表他的完整作品後，才能有明確的意見。……【更多內容請閱讀科學月刊第585期】