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2019-02-01五次通解惹斷腸─阿貝爾的方程解之憾
590 期
Author 作者
劉柏宏／勤益科技大學基礎通識教育中心教授。
歐洲暑期大學會議（European Summer University）以數學史與教學（history and pedagogy of mathematics, HPM）為主題，每4年一次在歐洲各國輪流舉行。當初得知去（2018）年將在挪威奧斯陸（Oslo）舉辦之後就決定前往，也藉機來一趟遇見阿貝爾（Niels Henrik Abel）的數學朝聖之旅。
奧斯陸的阿貝爾
沿著Google地圖的指示來到奧斯陸大學（University of Oslo），欲尋覓知名的阿貝爾雕像。事前只知道此雕像矗立在數學館一堵矮牆前，但到現場後就是遍尋不著數學館。在校園繞了一大圈後，最終在路人提點之下，找到 「內爾－亨立克－阿貝爾（Niels Henrik Abel Hus）」館，也見到夢寐以求的阿貝爾（圖一）。雖然，其青黑的色調和在遮陽的樹蔭下看起來不是那麼清晰，但阿貝爾俊秀的臉龐仍依稀可辨。雕像上阿貝爾身穿及膝毛絨外套，安靜地坐在一張扶手椅上，脖子上打著一條領結圍巾，左手掌伸入排釦間隙，覆蓋於大衣內，似乎是為了取暖。時值豔陽7月，此情此景更讓人領略他生前所遭遇的淒寒。塑像下方基石鐫刻著的，除了有與刊登在《科學月刊》588 期〈一曲方程眾吟唱──文藝復興的方程解之戰〉一文中所提及的藍底白字小牌匾上相同的文字外，還有一條雙紐線圖案。
雙紐線是平面上符合（x2＋y2）2 ＝a2（x2－y2）所有的點所形成的軌跡，其極坐標表示法為r2 ＝a2cos2θ。18世紀瑞士數學家伯努利（Jacob Bernoulli）計算雙紐線的弧長時開啟橢圓積分的研究，而德國的高斯（Carl Friedrich Gauss）則著眼於橢圓積分的逆運算（即橢圓函數）進行研究。1827年，阿貝爾發表在《克雷勒》（Crelle Journal）的論文〈橢圓函數的研究〉（Recherches sur les fonctions elliptiques）探討雙紐線的可建構性，對橢圓函數的發展起了關鍵性的作用。不過，阿貝爾最蕩氣迴腸的事蹟無關橢圓函數，而是五次方程無根式通解的證明。
衣帶漸寬終不悔
在歷經文藝復興時期諸多數學家慘烈的挑戰與鬥爭，求解方程式的目的漸漸脫離其原本的實用價值，而成為一種修鍊數學心智的工作，也開始吸引後續諸多數學家的投入，例如歐拉（Leonhard Euler）與高斯。不過，歐拉與高斯2人對於五次方程是否存在根式解的看法截然不同。歐拉認為透過適當的降階過程，求得五次方程的通解應指日可待。......【更多內容請閱讀科學月刊第590期】