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把人鋸成兩半
派駐各島的結繩人之中必有一名宗師。宗師一職不僅象徵技藝已臻化境，亦反映其領導智慧。各島宗師由守望人一族遴選，這是守望人的唯一要務。在全族人尚幼小時，守望人就施行一系列基本結力測驗。包括直接與繩結相關，繫與解的手法，結繩人藉此一較高下。此外也有要求將物件依序從孔中鑽串，一邊閃避障礙，和只藉識讀便重現複雜的織法。此外也有啞謎形式的考驗，諸如：

「此繩有左右兩端。只有一端的繩何處尋？」

用意並非索要正解。而是聽取此謎時，心中理出何種線索頭緒。這些念頭乍看荒唐不經，但宗師或能從中掇拾一縷思路，順此用力一拽，現實的宏大結謎都將依序豁然鬆開。兩位宗師埋頭討論時，他們的交流在旁人眼中宛如天書。難以置信宗師們竟能彼此理解，還達到合理共識。實際上他們正忙於揉合兩股思緒⋯⋯

本書並非意在揭穿魔術手法，好像一九九○年代曇花一現的電視節目《魔術師之終極解碼》。我倒希望寫這個。該節目的主持人是《X檔案》的演員米徹．佩勒吉，常毫不掩飾他對魔術手法的輕視。每週日傍晚，觀眾目不轉睛地看「蒙面魔術師」揭曉祕密。然而，就這一次我將打破魔術師誓言，終極解碼魔術界一大祕密：怎麼把人鋸成兩半。

更準確說，我要揭露我原以為這招是怎麼變的──因為後來我才知道想錯了。我曾認為箱子裡一定有兩個人，分別扮演上半身和下半身。但米徹卻說我們看到從箱子穿出的腳，只是遙控操作的道具。

容我假設有個版本的魔術如我想像的那樣實行。那麼我們所見一個人好像被分成兩半，其實是兩個完好的人各自露出一部分。你還可能看過類似表演，有人假裝將他的拇指指尖拔下來，用的就是同樣方法：偷偷的以另一隻手的姆指尖代替彼（或者，又是假的遙控拇指道具）。只要有好幾份同個東西，就容易使一個東西看來被分成好幾份。而在凝態物理我們不只有兩份，更有大量粒子。

現在想像許多磁鐵棒排一列，每個N極漆成紅色，S極漆成藍色。若你站遠再模糊視線，只會看到一整片紫色。要是把一根磁棒倒轉，就會有一處是兩紅兩藍相鄰，由於面積較大，遠看起來仍顯出紅與藍色。一開始兩區域相鄰，但若你依序翻轉下一根、下下一根磁棒，兩紅區域就和兩藍區域漸行漸遠了。翻轉磁鐵，就能使N極集中的區域和S極集中的區域獨立移動〔圖23〕。磁極被離合了！

再度強調這招有多不凡。由於我們已說磁都是偶極，即總是一根小磁棒。想像磁棒在你面前，N端在左，右方一定是S端。所以尋找磁單極就像把左端保留，右端憑空變不見！即使只是在突現的意義上分開磁極，也算回答了宗師的謎語「只有一端的繩何處尋」了。所需準備是一條磁棒長鏈。而你還得一一翻轉它們，直到另一極遠得不得了。

利用突現，我們造出了磁單極。即從雙重N極發出來的磁場，向雙重S極的區域流去。並沒有違背什麼物理定律。然而我們用了宏觀、熟悉的磁棒煞費心思地造出這一幕。要是它能自然、自發地產生，在原子尺度長成一顆真正的晶體，豈不是更加神奇？我會這麼說是因為，首先，有種直覺的審美觀是凡事總是天然的好。人工草皮一無是處。而天然的蛋白石動輒可以喊價到人工合成的百萬倍。其次，希望我已說服你，突現準粒子就和基本粒子同樣真實。因此若磁單極能從眾原子之中突現，它就真確存在。

但或許最教人滿意的是，突現磁單極不僅存在，它還能從原本繁雜非常的圖景中提供我們一套簡潔見解。翻轉磁鐵棒不太能得到這些益處。要是磁單極能在材質中自然產生，另一個優勢是，那會比科學家費盡心思組裝微觀材料更省人力物力，成品也不會太大。幸好宇宙很擅長一溜煙就組裝出原子尺度的巨大磁鐵陣列──這過程就是晶體的生長，比任何人類組建微電路的工藝更快更穩健。那或許就是造出磁力版半導體元件的關鍵。萬幸的是，大自然（在養晶人的誘導下）也懂得表演它的「把人鋸兩半」戲法。

自旋冰

巫師從自然的悄悄話裡偷取咒語一二。我們是從何處學到磁力的離合咒？ 從鈦酸鏑（Dy₂Ti₂O₇）和鈦酸鈥（Ho₂Ti₂O₇）的晶體之中。兩者都是順磁體。雖未曾發現此兩種組成的天然礦物，世界各地的養晶人卻已造出了許多顆。當它們冷卻到很低很低溫，就會形成一種厲害的磁性狀態：「自旋冰」。

這是種前所未見的磁體。既然是晶體，自旋冰的原子呈規律週期排列。嚴格來說它們是由帶電的離子排成的，特別是每一顆稀土金屬離子帶有磁場（自旋）。自旋冰的規律晶體結構可以想成一些假想的四面體，即底面是三角形的角錐排成的〔圖24〕。四面體有四個頂點。這排列法是，每個頂點都恰由兩個四面體共用，而正是這些頂點上有著自旋。自旋必指向其中一個四面體的中心，背向另一個四面體的中心。

自旋有點像磁鐵的N極。想像同一個四面體的四個頂點，若自旋都指向其中心，它們不會太愉快，因為磁極同性相斥。但它們也不樂意一齊向外指，這會讓S極又擠在一塊。不得已只能盡量讓每個四面體中自旋都是兩進兩出。每一四面體中，這排列一共有六種方法。若能同時滿足所有四面體皆兩進兩出，這狀態稱為自旋冰〔圖25〕。它是系統能量最低的狀態，也就是基態。

我們再來想像N極漆成紅色、S極漆成藍色。雖然這是亞原子尺度，不是真的有漆，但想像力是你的超能力。如果我們模糊視線，則兩進兩出看來就是紫色。自旋冰就是滿盤皆紫。但實際上的晶體總是受到溫度（熵）的擾亂，並非所有四面體都能排得兩全其美，處在基態。翻轉某個頂點會讓一個四面體是三進一出，遠遠看它偏紅，具有較集中的N極：一個磁單極！同時也產生另一個四面體是三出一進（因被翻轉的頂點是共用的），遠看偏藍的S磁單極。只要繼而翻轉相鄰的自旋，就能令兩個磁單極逐漸分開，如我們期待的那樣。

上述的N與S極的集中區域可以各自分開，正是我們夢寐以求的磁單極的自然實現。有些科學家不喜歡稱這些是準粒子，理由是它們的突現特性可以只用古典物理定律描述，無須量子理論。但這並沒有令它們作為磁單極失格。例如說，在自旋冰表面放置磁力計，測得的結果與倘若其中有磁單極在運動沒有差別。容我重申本書的宗旨：我們是介觀世界居民，我們本身和儀器都仰賴大量粒子互動，尤其是和觀測目標互動，才產生可感知的突現性質。就此意義上，所有我們曾觀測到的粒子都得一度化作某種準粒子。

「自旋冰」之名和它的溫度倒沒有直接關係。事實上，它比冰冷得多。唯有在二K，即絕對零度以上兩個攝氏刻度它才會形成。那比宇宙還冷！第四章提到過，遠離恆星的宇宙空間均溫是二．七K。這是大霹靂的餘暉：宇宙背景輻射的溫度。把晶體冷卻到這程度不簡單，但熟練的實驗物理學家就能辦到。

那自旋冰的名字怎麼來？冰是由水分子 H2O 構成。冰的晶格中，氧原子形成週期性的規律結構。每一顆氧原子周圍都另有四顆呈四面體排列的氧原子〔圖26〕。因為氧是水分子的氧，這四個方向之中，某兩個需接氫原子。但是哪兩個不一定，所以也是每個四面體一共有六種可能。如果把氫看作是箭頭，則每個四面體最好也是兩進兩出，和自旋冰一樣。這種排列稱為「冰準則」，而它對於物質之道有深深的影響。

〔圖26〕

北極以北的新世界

科幻和奇幻小說的常見主題是在地球的兩極「之外」發現了新世界。最有名的現代例子或許是菲力普．普曼的《黑暗元素》三部曲。但那也是常被譽為世上第一本科幻小說，由新堡公爵夫人瑪格麗特．卡文迪許於一六六六年出版的《彗星世界》的主題。卡文迪許的小說有一明顯的靈感來源是羅伯特．虎克在前一年出版的《微物圖誌》，講述用顯微鏡在微觀尺度發現微生物蓬勃的全新世界。自旋冰之所以能施展離合咒，正是由於開啟了微觀世界之門，磁單極在那世界存在，卻在我們的世界缺席。

自旋冰磁狀態存在的一個初步線索是從測量晶體的熱容量得到的。熱容量指的是系統每改變一單位溫度所需的熱量。晶體在降溫到約二K時，熱容量會呈一個小山丘形狀，一時之間較難降溫。這有點像相變成新的物質狀態時會見到的。但若是相變，比熱應該飆升到無限（一階相變）或不連續間斷（二階相變），兩者都不像自旋冰的平滑小丘。這是為什麼？

在第三章我們學到物質的教科書定義：大量粒子互動中，因自發對稱破缺產生宏觀的突現、剛性結構。典型例子是順磁體變成鐵磁體。在高溫時個別自旋的指向紊亂隨機。即使感到彼此磁場，高溫度仍使系統偏好增加熵值，而非降低能量。待溫度降低，相變發生時就像天平傾倒的一刻，所有自旋便自發對齊。這稱為「長程有序」排列：知道一個自旋指向就知道全體自旋指向，推動一個則全體一起抵抗，也就是剛性。

但當順磁體轉變成自旋冰，情況不太一樣。在高溫時（相較二K而言）每個四面體中的自旋都胡亂翻轉。有不少的狀態是四進零出或三進一出等等。直到冷卻到二K以下，四面體開始找到滿足兩進兩出的解法。理論上只要給它們充足時間就能辦到。但這並不是長程有序！假如我知道某個自旋的指向，我並無法推測長距離外的另一自旋的走向。但它們之間存有關聯性，既然我們確定每個四面體都是兩進兩出。此中有不同凡響之處。

為展示這不容易辦到，我們來看一個簡化的自旋冰模型（稱為方格冰，如〔圖27〕）。先畫下一個方形網格，再試著在邊上加箭頭，使每個交叉點都滿足兩進兩出。你可以試看看，便知方法一點都不明顯。除非你在每格都做同樣的事（例如每一豎都向上、每一橫都向右）。問題出在剛開始那些箭頭可以隨興畫，但太隨興你就會卡住，剩下的邊上無論箭頭怎麼畫都無法兩全其美。

晶體裡的原子實際可以全局解決這問題，簡直不可思議。還是在只顧及與自己相鄰的自旋就辦到的，就好像螞蟻只和鄰蟻互動，就排成了極複雜的結構。這也令遠距的兩自旋，雖然指向並非完全相互決定，卻存有一定關聯。這是突現現象的清楚實例。

順帶一提，其實除了相鄰自旋，較遠自旋的磁場仍有作用，只是效應不強。但當我們把這些交互作用也考慮進來，突現磁單極便會互相推拉，藉由場而互動。這讓電荷和磁荷的類比更像了。

上述「有長程關聯性，卻非長程有序」的概念，會引出關於物質更細緻入微的分別。由於自旋冰的宏觀磁性測量起來和順磁體有顯著不同，令人很想定義它為一種獨特物質狀態。但大多科學家都稱它為「具有長程關聯的順磁體」（correlated paramagnet），而將熱容量的小丘稱為「過渡」（crossover）而非相變。到頭來這都取決於人們想多精細定義這些詞。

可以確定的是，自旋冰中的長程關聯性可以造成宏觀尺度效應，故可以實際測量。另一項探測自旋冰的利器是「中子繞射」。這方法和穿越鏡子抵達大小對調的世界，拍下晶體寫真的X光繞射類似。當液體結晶，就產生了長程有序性，在X光繞射圖像上顯示為銳利的點陣列。若長程有序性的範圍愈廣，繞射圖上的點會愈小。再來，中子其實也能繞射。乍聽這有點玄，因為傳統上都把中子想成粒子而非波動。但實際上它們是量子物體，所以有波動性能繞射。最大差異是，中子其實具有自旋！因此會受磁場影響。故中子繞射不只能探測晶格結構，更能測量自旋的排列狀況。所以當我們把晶體冷卻到形成自旋冰，中子繞射會顯示什麼？必定不是銳利點陣，那代表長程有序性，這裡不具有。但理應顯出某些小型細節，因為長程關聯性的範圍很廣，而繞射使大小對易。最後呈現的圖像稱為「捏縮點」（pinch points）。它們像在一方向被擠壓， 在另一方向伸長的樣子。〔圖28〕是中子繞射圖，等高線表示成像強度變化，黑色區域強度最高。捏縮點即黑色區域快要相連的地方（在更高解析度的圖上它們確有相連）。

小時候我常想究竟能不能把磁鐵的N極分離。漸漸我相信答案應該是不行。但這念頭存留在我心裡一角，或許吧，有一絲希望。直到我在牛津修業，第四學年須選擇兩個專門領域。我選了理論物理和粒子物理。但就在升大四的暑假，我看到自旋冰中找到磁單極的新聞。雖然該論文是理論性的，但他們把計算結果和既有的實驗數據做了聰明的對照，結論令人信服。一聽到消息我就申請換科，換成理論物理和凝態物理。牛津畢業後，我又到加拿大的圓周理論物理研究所攻讀第二個碩士學位。我選擇的學位論文題目是，利用源於弦論的方法，模擬自旋冰的中子繞射圖形。雖然和我一開始想像把磁鐵鋸兩半的方法不太一樣，卻一樣精彩絕倫。我又拾回小時候的驚奇──那終究是辦得到的，只是巧妙程度遠超乎想像。

書　名｜《凝態物理：從半導體、磁浮列車到量子電腦，看穿隱藏在現代科技背後的混沌、秩序與魔法》
作　者｜菲利克斯‧ 福立克（Felix Flicker）
譯　者｜秦紀維
出版社｜貓頭鷹
出版日期｜ 2024 年10 月

想像按一下鈕，就能讓一塊水晶發光，又或者敲一下水晶，就能產生火花——這可不是奇幻小說的情節，現實世界裡，這些現象就是常用的LED燈還有火鍋店裡的打火槍。要了解這些特性從何而來，首先必須了解什麼是凝態物理。