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上個月的某一堂課，幾位準老師與筆者分享要怎麼教「平方和的求和公式」，有個例題是

25²+26²+...+73²=?

這不難，用(1²+2²+...+73²)-(1²+2²+...+ 24²)套兩次平方和公式就可以解決，答案是 127449。我們都覺得以 「觀念鞏固」的角度來看，這個題目還不差。但是也一致同意，該題的數字設計未免也太不友善了些。

但是，不久有個心算強者竟發現 127449=357² 是一個平方數！實在很不尋常，這下子大家都有興趣了，於是師生拋下課程討論起來。雖然最後回顧，大半都是重複前 人所得，但這段經驗相當有趣，幾乎重現數學家進行數 學研究的歷程，在此與讀者分享。
 

連續平方和是平方數

我們想知道更一般的結果或理論，這正是數學家的思考模式，永遠在尋找更廣更一般的理論，而要解決的問題是

1. 從哪些數 a 開始，可以有連續平方和是平方數？ 2. 需要的項數 l 是多少項？

數學的說法就是， 希望能找到正整數 (a, l) 使得 a²+ (a+1)² +...+(a+ l-1)² 是平方數，例題的 25²+26²+... +73²=357² 等號左邊從 25 開始，有 49 項相加，故此問題至少已經有一個 (a, l)=(25, 49) 的解了。
 

畢氏三元數

面對一無所知，那就從簡單的情形開始探索。如果 l=2， 那就是說，要找連續兩個平方數，其和也是平方數。建 議讀者在此可以先放下文章，試試看！

換句話說，就是要找畢氏定理之中的直角三角形，其兩股是連續自然數，例如 3²+4²=5²。這太容易了，另還有 20²+21²=29² 也是個例子，於是我問同學，還有嗎？......【更多內容請閱讀科學月刊第595期】