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• 指數與對數的關係密切，但很多人只熟悉整數指數而對零頭指數陌生。零頭指數（例如10^0.5）是為了製造對數表而發明，兩者可說是同時誕生。
• 對數表是由納皮爾提出，目標算出1000 萬以內自然數的對數，每個算到14 位小數。布里格後來承接這項工作，開發新算法來完成這項龐大計畫。
• 對數表的發明讓許多複雜計算變得簡單，對科學、工程與金融發展有重大貢獻。可惜現代學生缺乏使用對數表的經驗，反而覺得對數十分困難。

大多數讀者可能會覺得自己和指數（次方）很熟，卻跟對數很陌生，甚至覺得它很可怕。其實指數與對數就像是手心與手背，明明是同一回事，為什麼卻會在許多人心中留下迥然不同的印象？筆者認為根本的原因是，我們並沒有真的學習到指數。

我們以為熟悉的指數，可能僅限於正整數指數，例如2⁸ ＝256、2¹⁰ ＝ 1024、9×9 ＝ 81、7×7 ＝ 49 等，這些指數常見於生活與工作中。有些人可能還記得負整數指數，例如a^-1 為a的倒數，2^-3 為¹/₈，但許多人對指數的認識大概就到這裡為止。而我們對正、負整數指數的經驗不足以支持對數的學習，也無法讓我們感覺到指數與對數就像手心與手背。若想要獲得這樣的感覺，還需要認識零頭指數（fractional　exponents），也就是像10^0.5、10^0.3、10^0.4771 等。

整數指數可以說是「天然」地出現在數學裡，搭配著正整數的質因數分解，例如108 ＝ 2²×3³，以及在測量時常用的單位分數，例如 ¹/₂、¹/₄、¹/₈、¹/₁₀、¹/₁₀₀、¹/₁₀₀₀分別是2^-1、2^-2、2^-3、10^-1、10^-2、10^-3。可是零頭指數並不天然，它是人造的；事實上，在1619 年出版最早解釋如何建構對數的一本書裡，對數就被稱為「人造的數」。零頭指數並不天然，它是為了製造對數表而發明，也就是說，零頭指數和對數都是因人發明而誕生的。

零頭指數的重要性

對數是由蘇格蘭貴族納皮爾（John Napier）從一串描述此數的拉丁文中，抽取兩個關鍵字根組成的新字（logarithmorum）。中文也如法炮製，從它的描述：「對應等比（數列）的等差數（列）」抽出頭尾兩字，組成「對數」。但是除了需要在等比與等差對應以外，還要滿足一個算術關係：等比數列中的兩數相乘除，要對應它們的對數相加減。

在納皮爾創造對數之前，德國僧侶兼數學家施蒂費爾（Michael Stifel）創造整數指數觀念與符號。在他1544 年出版的《算術全義》（Arithmetica Integra）第250 頁有一個表格（表一），下排是等比數列，上排是等差數列，明顯符合對數的第一個條件：等比與等差之間一一對應，例如表一等比數列中4 對應的等差數是2，8 對應的數是3。再檢查第二個條件：例如 4×8 ＝ 32 對應到2 ＋ 3 ＝ 5，而5 是32 的對數；又例如 2÷8 ＝ 0.25 對應1 － 3 ＝－ 2，而－ 2是0.25 的對數。這張表揭示另一個重要的訊息――負數不可或缺，如果沒有負數，則像2÷8 所對應的1 － 3 就不能算了。

施蒂費爾在1544 年出版的書裡已經預見表一的巨大潛力，也就是它可以化乘除為加減。但如果要讓它更具有實用價值，必須大幅擴充這張表，而這可能需要一個人投入畢生精力才辦得到，他自己不敢，於是建議後人努力。

如今我們可以看到，表一的下列是公比為2 的等比數列2n，上列就是它的指數n ＝－ 3…6。表一可謂史上第一幅對數表，但是顯然沒有實用價值，因為它太「稀疏」了，也就是「解析度」不足。要提高解析度，也就是讓它變得比較「稠密」，則不能只放整數指數，還要放零頭指數。在等差的0 和1 之間還有好多零頭的數，例如½。根據第二個條件：假如x 的對數是½，則因為½是0 和1 的等差中項（算術平均數），所以x 必須是1 和2 的等比中項（幾何平均數），也就是x 需滿足比例式1：x ＝ x：2，因此可知x ＝√2 。這就是為什麼要規定√2 為 2^1/2的原因。

再來看 ¹/₃。¹/₃ 不能跟0 與1 形成等差數列，必須插入²/₃ ，才能形成等差數列0, ¹/₃ , ²/₃ , 1。同理，我們需要找兩個數x、y，使得1, x, y, 2 形成等比數列。因此x、y 要滿足連比例式1：x ＝ x：y ＝ y：2，而這也正是古希臘人遭遇倍立方問題時想出來的方法（延伸閱讀1），從這條連比例式誕生了立方根和拋物線。因為 x ＝³√2、y ＝³√ 4，他們的對數是⅓、²/₃，所以才需要規定 ³√2＝2^1/3、 ³√4＝2^2/3。

依此類推，則 2^0.1是^0.1√2 的意思，需求解 x¹⁰＝ 2才能獲得此數值。而 2^0.301是 2^301/1000也就是 ¹⁰⁰⁰√2³⁰¹的意思，按照原始定義，需求解 x¹⁰⁰⁰ ＝ 2³⁰¹ 才能獲得此數值。此處解釋的就是零頭指數的意義，它們正是為了配合對數的需要而被規定的，因此零頭指數和對數可說是同時誕生。但在如今的中學課程，零頭指數來得太理所當然，且學生在不習慣使用計算機的數學教育裡，就連零頭指數的運算及應用都幾乎沒有接觸的機會，使他們的實際經驗被侷限在整數指數，沒有機會學習零頭指數，這就是後來難以學好對數的根本原因。

為什麼需要對數表？

方程式x¹⁰ ＝ 2 和x¹⁰⁰⁰ ＝ 2³⁰¹ 在16 世紀可能真的沒有人嘗試過求解，或許是因為真的太麻煩，但真正的原因可能還是沒有需求，也就沒有動機。雖然每個時代都有嗜好般純粹出於興趣的數學，但是真正引起共鳴並流傳到今天的還是以需求的數學（例如對數）為主。前述的兩個方程式反而是在有了對數之後才求解的（數值近似解）：第一題的解是x ＝ 10^b，其中b ＝ log2÷10；第二題的解也是x ＝ 10^b，此時b ＝ 0.301×log2。

log2 是2 的（常用）對數，意思是使得10 的某次方等於2 的指數。我們暫時不知道它是多少，只能從零頭指數的經驗得知，有某個介於0 ～ 1之間的小數，能讓10 的某個次方等於2。而寫不出它的數時，就用log2 代表它。

方程式中的b 顯然也不是整數，那麼10^b 該怎麼計算？由於指數和對數就像手心和手背，只要對數表夠「稠密」，例如在（常用）對數表的對數欄查得到b，則跟它對應的數就是10^b。可見如果有對數表，則令人感到束手無策的計算，只要查表就好了，在這個範例中，可以先查出log2，做個簡單的計算log2÷10 得到b，然後再查表得到10^b。

但說得輕鬆，這張理論上的對數表，要怎樣算出來？要知道次方與對數都沒有公式，只能從算術的基本原理，搭配各式各樣……【更多內容請閱讀科學月刊第662期】