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1925 年6 月， 德國理論物理新起之秀海森堡（Werner Heisenberg）深受花粉熱之苦，他那時還沒滿24 歲，正在德國哥廷根大學擔任玻恩（Max Born）的博士後研究助理。為了逃避花粉熱困擾，海森堡在6 月6 日出發到位於北海的德國度假小島黑爾戈蘭島（Helgoland）調養。他於7 日到達島上，雖然帶了個腫大的臉，但腦子還是放不開苦惱已久的量子之謎：如何理解原子光譜？也就是說，我們要怎麼計算原子所發出的光的頻率與強度？

量子力學的誕生– 海森堡的突破性發現

出乎眾人意料之外，海森堡竟然在黑爾戈蘭島上找到了正確量子計算法則的關鍵點。在《物理內外》（Physics and Beyond）一書中，海森堡回憶：「我在島上就是散步與游泳，沒有其他事可以讓我分心，所以我的進展比在哥廷根時快得多……我算出結果時，已近凌晨三點……最初我感到震撼，覺得透過所觀察到的原子現象，我看到了一個奇異的美麗內在；一想到現在必須深入探究這個大自然慷慨地展現在我面前的豐富數學結構，就感覺有點昏眩。我太過興奮，沒法睡覺，而且天已經快亮了，所以我前往島的南端，輕易地爬上了一個我早就想攀登的朝著海突出去的一塊石頭，然後等待太陽升起。」

有些科學史家認為海森堡的回憶過於浪漫，不見得是事實，他的突破其實更可能是在他離開小島後才完全達成。無論如何，海森堡在 7 月 11 日前後將一份論文手稿複本交給玻恩後，見多識廣的玻恩隔沒幾天即領悟出海森堡的發現所隱藏的道理，並對此感到非常興奮。

海森堡當年的論文題目是〈對於運動學與力學關係的量子理論再詮釋〉（Quantum -Theoretical Reinterpretation of Kinematic and Mechanical Relations），玻恩發現當時對於矩陣數學還一無所知的海森堡， 在其手稿中其實是將古典力學中的物理量，例如位置q 與動量p，都當成矩陣來進行計算。論文中採用的量子運算法則就是矩陣相乘法則，而海森堡在文中採用的量子條件相當於矩陣方程式 pq–qp ＝ (h/2πi)I，其中h 是普朗克常數，i ＝√-1，I 則是單位矩陣。這個著名的條件後來被稱為「正則交換關係」（canonical commutation relation），是量子力學的基礎方程式。

興奮的玻恩邀請當時年僅25 歲但已令人敬畏的物理學家包利（Wolfgang Pauli，曾當過玻恩的助手）一起研究，卻被拒絕；於是他轉頭找了學生焦丹（Pascual Jordan）合作，將這些領悟精確地用數學解釋清楚。兩人在1925 年9 月完成了一篇名為〈論量子力學〉（On Quantum Mechanics）的論文，把海森堡的發現以矩陣形式簡明的表現出來，並予以推廣。此外，有件讓玻恩非常驚訝的事，默默無名的23 歲英國劍橋大學（University of Cambridge）物理博士生狄拉克（Paul Dirac）竟然也獨自發現了與這篇論文相同的結果。

接下來，海森堡、玻恩、焦丹三人聯手進一步發展矩陣量子力學，在1925 年11 月完成〈論量子力學II〉（On Quantum Mechanics II）。後來學界常稱海森堡7 月的論文為「一人文章」、玻恩與焦丹9 月的論文為「二人文章」，最後海森堡、玻恩、焦丹合作的論文為「三人文章」，這三篇論文合起來建立了（矩陣）量子力學。這門學問除了可以解釋原子光譜外，還能夠用來處理眾多原子尺度的現象，立即說服了學界，可說是重大成功。

隔了幾個月，到了1926 年上半年，奧地利理論物理學家薛丁格（Erwin Schrödinger）發表了數篇論文，提出他那著名的「薛丁格方程式」，建立起波動力學。他也很快證明了他的波動力學與海森堡等人的矩陣力學在數學上是等價的。因此，今天我們會說量子力學有矩陣力學與波動力學兩個形式或版本。既然兩者等價，那意味著如果薛丁格沒有出現，還是會有人從矩陣力學去推導出波動力學；反之，如果海森堡沒有出現，也有人會從波動力學推導出矩陣力學。不過歷史上矩陣力學出現在前（1925 年），波動力學在後（1926 年），所以今（2025）年可算是量子力學誕生100 週年。

量子力學讓科學家掌握了微觀世界的法則，使他們能夠更深入了解物質的奧祕，例如原子、分子的性質，導體、絕緣體的由來等。平常低調的狄拉克甚至宣稱，對於「一大部分的物理與全部的化學」來說，它們的數學理論所依賴的物理定律已經被「完全知曉」。如同哲學家培根（Francis Bacon）所說「知識就是力量」，量子力學毫無疑問具有高度的應用價值。

數十年前就曾有人估算美國的國內生產毛額（Gross Domestic Product, GDP）其中超過1/5 與量子理論有關，大家只要想到例如半導體、雷射、生化等產業的成長，就知道這種講法不算太離譜。到了今天，量子理論的重要性更是有增無減，聯合國也在去（2024）年6 月7 日宣告今年是「量子科學與技術國際年」（International Year of Quantum Science and Technology, IYQST），在全球各地發起慶祝量子力學誕生100 週年的活動。……【更多內容請閱讀科學月刊第661期】