文章專區

Take Home Message
• 畢達哥拉斯學派相信音樂和天文間的關聯，他們發現音符的音高與弦長成比例，並推測行星運行時會發出和諧的聲音。
• 受畢達哥拉斯和柏拉圖影響，克卜勒試圖以數據證明行星運行中的和諧比例。
• 克卜勒面臨數據上的不完美與人生中的種種打擊依然堅信理念，以行星運行數據完成一具有音高的八度音系統。

算術、音樂、幾何、天文是古希臘「四藝」學科，這四個學科都是數學的一部分，其中天文與前三者息息相關。例如畢達哥拉斯學派相信音樂和天文學之間有著潛在的聯繫，他們發現音符的音高與產生該音符的弦長成比例關係，而和諧聲音頻率之間的間隔則形成簡單的整數比（延伸閱讀1）。

來自宇宙的樂音？

畢達哥拉斯學派更主張太陽、月亮和當時已知的五顆行星，在公轉軌道繞地球旋轉時會發出自己獨特的聲響。畢達哥拉斯主義的信仰者――柏拉圖（Plato）對於天文和音樂的關係也遵從此主張（延伸閱讀2）。他在《理想國》（Res Publica）第七卷寫道：「正如眼睛似乎是為了研究天文學而形成的，耳朵似乎是為了研究和諧樂音而形成的，如同畢達哥拉斯學派所說，這兩者彼此是孿生的科學。」

然而，此理論也受到質疑。太陽、月亮，以及其他行星的量體如此之大，它們的運動速度又是如此之快，發出的聲響想必相當巨大，但地球上的人類為什麼聽不到一絲絲美妙的天籟？畢達哥拉斯學派的解釋是行星的聲音從人類出生的那一刻起就已進入我們的耳朵，就像是打鐵匠已經習慣了打鐵舖的噪音一樣，因此人類無感，宛如沉默之聲。但柏拉圖的學生亞里斯多德（Aristotle）並不認同這種說法，身為強調感知型的哲學家，他在《論天體》（De Caelo）第二卷反駁：「這不能算是事實的真實描述。不僅僅是我們什麼也聽不見的荒謬，……，還有一個事實，即除了感覺以外，沒有發生其他的衝擊效應。我們知道，巨大的聲響甚至會破壞無生命物體的固體結構，例如雷聲可以劈開岩石和最堅固的物體。但如果移動的物體如此龐大，而穿透到我們這裡的聲音與它們的大小成比例，那麼這聲音必然會以比雷聲多幾倍的強度抵達到我們這裡，作用力必然是強大的。」

2000 年後遇知音

哥白尼（Nicholaus Copernicus）、伽利略（Galileo Galilei）、克卜勒（Johannes Kepler，圖一）並列為文藝復興時期的三大天文學家，共同開啟天文學革命。若以現代標準來看，克卜勒可以說是大數據專家。他在1596 年的《宇宙的奧妙》（Mysterium Cosmographicum）一書中，藉由已知的數據建構出由五個正多面體所形成的太陽系模型（延伸閱讀3）。1600年，他到捷克布拉格開始與天文學家第谷（Tycho Brahe）展開合作關係。根據第谷的天文臺觀察得到的龐大資料，他再次檢驗先前正多面體太陽系模型的正確性――僅由正多面體並不能推導出行星與太陽的距離之間的比例。

1602 年，第谷猝逝，克卜勒繼承了他所有的研究資料，並且憑藉優異的數據解讀能力、創意想像力和宗教信仰，在1619 年出版了《世界的和諧》（Harmonices mundi libri V，圖二）一書。書中更進一步繼承畢達哥拉斯和柏拉圖的遺響，替行星的運行譜上和諧的樂音。

畢達哥拉斯以12：9：8：6 為基準所建立的音階比例，深深影響了克卜勒，這是他心目中最理想的和諧比例。他撰寫的《世界的和諧》書中第四章標題便是「造物主在哪些與行星運動有關的事物中表現了和諧比例」，克卜勒認為可以從行星與太陽的距離、行星體積、行星周期、行星每日經過的路程、視周日弧〔註〕等數據尋找和諧比例。

［註］視周日弧是指從太陽位置觀測的行星每日行經的弧度。

經過初步測試，克卜勒排除了行星體積和行星周期這些數據。以下筆者將以行星周期為例，說明克卜勒的策略……【更多內容請閱讀科學月刊第658期】

延伸閱讀
1. 劉柏宏、劉淑如（2006）。文化裡遇見數學 數學與音樂對談千百年數學與音樂對談千百年。科學月刊，443 期。
2. 劉柏宏（2022）。走入畫作〈雅典學院〉的理型世界。科學月刊，636 期。
3. 劉柏宏（2020）。克卜勒結合數學與神學的宇宙模型。科學月刊，610 期。