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• 古中國數學典籍《九章算術》遺留了「弧弦互算」問題，因缺乏「角」的概念而無法解決，顯現出中西方數學發展的關鍵差異。
• 角度概念在天文曆法中至關重要，中國數學因無法「弧弦互算」導致曆算落後，進而影響天文學發展。
• 托勒密製作的「弦表」可解決弧弦互算問題，它不僅是早期函數觀念的體現，也為三角函數的發展奠定了基礎。

在《科學月刊》今（2024）年3 月號刊出的〈超過300年的「倍立方」探究之旅 古希臘人對平方軌跡的探索〉一文中，作者提到古希臘數學「並無不重實用」。這邊要提供讀者另一個古希臘數學實用的例子――托勒密（Claudius Ptolemy）的弦表。弦表不但是最早的函數觀念之一，也具體呈現了三角函數（sin、cos 等）的真諦，它還是對數（log）被發明的契機。在本篇文章中，筆者想藉此談一談歷史對數學教育的啟發，特別是闡明「角」與「三角」真正應該學習的素養。

中國最偉大的數學典籍－《九章》

（中國書店海王邨公司，public domain，Wikimedia Commons）

故事要從古中國最偉大的數學典籍――《九章算術》（簡稱《九章》）說起。在進入現代之前，2000 年以來的華人數學家（以前稱為「疇人」）皆是以此書作為標準的數學入門教材。很多人寫過《九章》「有」什麼，但這裡要說它「沒有」什麼。《九章》有兩個主要的「懸念」：兩道沒有正確公式的題目。

《九章》的第一個懸念是「球體積公式」，這條公式可以作為當代文明進展的一個里程碑。這個懸念還好，不久之後就被南北朝劉宋時期的數學家祖沖之與祖暅解決了。所謂的「祖暅原理」就是在球體積公式的推論過程中出現，可惜目前的教科書都沒有善用這則美妙的歷史故事。漢文明比希臘文明晚了700 多年抵達「球體積」的里程碑，但相較於其他文明還是算早。

《九章》的第二個懸念「弧弦互算」可就嚴重了，問題發生在〈方田〉章中的「弧田」節，沒能提供一般性的「弦矢求弧」算法。在圓上任取兩點A、B，這兩點決定的線段稱為AB弦；在兩點之間且長度不超過半圓的那一段圓周，則稱為AB弧（圖一）〔註〕。在此配置中，AB弦和AB弧稱為彼此相對的弦或弧。

［註］
本文所說的「弧」都是「圓弧」的簡稱。

圖一｜弦、弧與矢
（作者提供）

彼此相對的弦與弧圍成的平面區域，在《九章》中稱為弧田，現在則稱為弓形；在弓形內部，弦的中垂線段稱為矢。而「弦矢求弧」的題目意思是：已知弦長與矢長，如何求弧田面積？《九章》沒能給出這題的公式。而這個弧田未解的懸念，便成為中國數學的千年懸案，一直到歐洲數學傳入中國為止，華人始終沒有自己解決這個問題。

解不開的弧弦互算問題

讀者或許會說，弓形面積不就是扇形減去三角形嗎？這個觀念確實正確。三角形的其中一個頂點是圓心，假設已知的弦長為2a、矢長為b，則三角形面積為a(r－b)，但扇形面積為何？古人已經
知道，假如弧長是2s，則這一段弧在整個圓中占的比例為s⁄πr，所以扇形面積是πr²× s ⁄ πr ＝ rs 。於是可以得到「弦矢求弧」的公式（圖二）：

弧田面積＝ rs － ar ＋ ab

圖二｜弧田面積的算法
（作者提供）

其中，圓半徑r 可以運用畢氏定理從弦矢算出來：r ＝ (a²+b²) ⁄ 2b ，但始終找不到從弦矢算出弧長2s 的公式，也就是無法從a、b算出s。所以「弦矢求弧」也可以說是從弦矢求弧長的問題。而這個問題的本質，其實是「弧弦互算」，也就是在已知半徑的前提下從弧算出相對的弦長，反之就是從弦算出相對的弧長。

讀者如果稍微回憶一下以前曾經學過的公式，會想到我們還需要知道弧所對應的圓心角。這就是關鍵了，東方與西方文明的一個關鍵性的分岔點，發生在這個不起眼的小觀念――角。《九章》及之後的所有中國算書，都沒有討論到圓心角的問題――他們沒想到將弦與弧聯繫起來的關鍵是圓心角，當然也不曾想過要測量角了。因此缺乏角度概念的漢文明，始終無法解答「弧弦互算」的問題。筆者認為，「華人無角」這個歷史評論雖然有些過於簡化，卻大體上不失公允（延伸閱讀）。

以函數解答弧弦互算

所有圓彼此相似，給定圓心角後，伸縮半徑時只會使得角所對的弦和弧按比例放大或縮小（圖三）；也就是說半徑在這個脈絡裡的角色就像比例常數，並不是問題的關鍵。因此，現代教科書大多令半徑為單位長，而本文也一律以「給定半徑r」為前提。

我們同時以θ表示圓心角，以及它的測量數值（角量）。因為圓具備任意旋轉的對稱性，所以θ所對的弧長／弦長只由角的大小決定，與角的方位無關。因此弧長／弦長全然由角量決定，這就是函數觀念：弧長／弦長是所對的圓心角的函數，在計算時分別會用arcθ和crdθ表示這兩個函數。小學用「度」（°）作為角量的單位，因此得到arcθ 的公式，也就是函數arc 的代數式為：arcθ＝ π ⁄ 180 ×rθ，定義域為0 ≦ θ ≦ 360。

到了高中改用「弳」作為角量的單位，因此換成另一條公式：arcθ ＝ rθ，定義域為0 ≦ θ ≦ 2π。弧長公式是「反之亦然」的函數關係，意思是圓心角量決定它所對的弧長：s＝arcθ，弧長也決定它所對的圓心角量：θ＝arc⁻¹s。反算的公式為：θ ＝arc⁻¹s ＝180 ⁄ π× s ⁄ r度＝ s ⁄ r弳。

同樣地，若將角限定在0°～ 180°的範圍內，則角θ與弦c之間也有「反之亦然」的函數關係；圓心角量決定它所對的弦長：c ＝ crdθ，弦長也決定它所對的圓心角量：θ ＝ crd⁻¹c。

以圓心角為中介，arc和crd兩種函數可以實現「弧弦互算」，而配置如圖二的「弦矢求弧」也能算了：弧長2s ＝ arc(crd⁻¹(2a))，題目中的矢長b用來決定半徑r。但問題是θ ＝ crd⁻¹c 只是觀念上的函數，它並沒有代數表達式，也就是說它沒有「公式」，所以還是無法算出。其實歷史還有另一種可能，或許《九章》的作者群及後來的疇人曾思考過圓心角，但是苦於找不到θ ＝ crd⁻¹c 的公式，因此只能停滯不前。

角度與天文曆法的關係

儘管如此，「缺了角」的漢文明仍然有高度的工程成就，不但建構出萬里長城，還打造了南北大運河，而這些工程在建設時都少不了大地測量。由此可見，大地測量並不一定需要角。《九章》的〈勾股〉章提供了足夠測量所需的數學。勾股就是直角三角形，《九章》從不討論它的銳角，只運用它的三邊比就足夠做大地測量了。西方文明使用一般三角形做測量的優點，是可以應用正弦定理與餘弦定理，但這兩個定理都是畢氏定理的推廣（〈勾股〉也有畢氏定理），所以有了角只是在計算上更方便一些，並沒有本質的差異。

真正需要角度概念的是「弧弦互算」，它不但可以解決弦矢求弧問題，更是天文測量的基礎數學，可以說角的威力展現於量天（天文測量），而非量地（大地測量）。缺角對文明的損害，首先發生在天文與曆算。當19 世紀西方耶穌會的傳教士來到中國時，東方的曆算已經落後，西來會士靠著曆算本領進入欽天監，在朝廷裡找到了立足點。難道西方找到了「弧弦互算」的公式嗎？理論上並沒有，但實際上已經夠用，關鍵人物就是托勒密。 

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