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•歐拉示性數可驗證球面上的多面體是否存在於三維空間，計算公式為V－E＋F＝2，V為點的個數，E為邊的個數，F則是面的個數。
•歐拉示性數證明在三維空間中，正多面體的數量僅有五種，分別是正四、六、八、十二、二十面體。
•每個面都是六邊形的球體，有n個面、2n個點、3n條邊，代入公式後會得到2n－3n＋n＝0，於是根據歐拉示性數，它不可能存在。

 
近日在動漫《葬送的芙莉蓮》（葬送のフリーレン）中出現的防禦魔法，是個每一面都是「六邊形」的球體。此圖案一出現後，隨即有數學愛好者表示這是現實中不可能存在的形狀。然而一般大眾或許不太能理解，為什麼這樣的形狀不可能出現？會不會只是他們信口雌黃，也許努力嘗試一下，其實可以畫出這種形狀的球體？如果真的不存在的話，有什麼數學定理或工具可以證明嗎？
 
在數學上還真的有定理可以說清楚它不存在的原因。本文將以歐拉示性數（Euler characteristic），證明這樣每個面都是六邊形的六角形球體不可能存在。

歐拉示性數

在正式開始講解證明前，筆者先介紹一下什麼是歐拉示性數。
 
一個球面上的多面體必須滿足以下公式：

V－E＋F＝2

 
其中，V（vertex）是點的個數，E（edge）是邊的個數，F（face）則是面的個數。若以文字表示的話就是「點個數減去邊個數加上面個數必須等於二」。該公式最早由法國數學家笛卡兒（René Descartes）於1635年證明，但當時較不為人知。之後瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler），也於1750年獨立證明了這個公式。1860年，人們發現笛卡兒在過去也曾證明此公式，因此將該公式命名為歐拉－笛卡兒公式。
 
我們舉幾個例子驗證歐拉－笛卡兒公式。例如底下五個空間中的正多面體，正四、六、八、十二、二十面體都會滿足歐拉－笛卡兒公式。

 
正四面體也就是正三角錐，每一面皆為正三角形，它有4個點、6條邊、4個面，所以代入公式後：4－6＋4＝2，正確無誤。再來看看正六面體。正六面體其實就是立方體，具有8個點、12條邊、6個面，所以代入公式為8－12＋6，結果也會是2。若還是不太相信的讀者，也可以再試著算算看正八面體、正十二面體、正二十面體帶入歐拉－笛卡兒公式後算出來的結果，可以發現這五個正多面體都滿足歐拉示性數（表一）。事實上，球面上的任意多面體都必須滿足歐拉示性數，並不侷限於正多面體。……【更多內容請閱讀科學月刊第653期】